Question

【題目】麻城市思源實(shí)驗(yàn)學(xué)校自從開展“高效課堂”模式以來，在課堂上進(jìn)行當(dāng)堂檢測效果很好．每節(jié)課40分鐘教學(xué)，假設(shè)老師用于精講的時(shí)間x（單位：分鐘）與學(xué)生學(xué)習(xí)收益量y的關(guān)系如圖1所示，學(xué)生用于當(dāng)堂檢測的時(shí)間x（單位：分鐘）與學(xué)生學(xué)習(xí)收益y的關(guān)系如圖2所示（其中OA是拋物線的一部分，A為拋物線的頂點(diǎn)），且用于當(dāng)堂檢測的時(shí)間不超過用于精講的時(shí)間．

（1）求老師精講時(shí)的學(xué)生學(xué)習(xí)收益量y與用于精講的時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求學(xué)生當(dāng)堂檢測的學(xué)習(xí)收益量y與用于當(dāng)堂檢測的時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）問此“高效課堂”模式如何分配精講和當(dāng)堂檢測的時(shí)間，才能使學(xué)生在這40分鐘的學(xué)習(xí)收益總量最大？

Answer 1

【答案】（1）老師精講時(shí)的學(xué)生學(xué)習(xí)收益量y與用于精講的時(shí)間x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=2x；

（2）學(xué)生當(dāng)堂檢測的學(xué)習(xí)收益量y與用于當(dāng)堂檢測的時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式為；

（3）老師在課堂用于精講的時(shí)間為33分鐘，學(xué)生當(dāng)堂檢測的時(shí)間為7分鐘時(shí)，學(xué)習(xí)收益總量最大．

【解析】（1）由圖設(shè)該函數(shù)解析式為y=kx，即可依題意求出y與x 的函數(shù)關(guān)系式.

（2）本題涉及分段函數(shù)的知識，需要注意的是x的取值范圍依照分段函數(shù)的解法解出即可.

（3）設(shè)學(xué)生當(dāng)堂檢測的時(shí)間為x分鐘（0≤≤15），學(xué)生的學(xué)習(xí)收益總量為W，則老師在課堂用于精講的時(shí)間為（40-x）分鐘，用配方法的知識解答該題即可.

解：（1）設(shè)y=kx，把（１，２）代入，得k=2．∴y=2x．

自變量x的取值范圍是：０≤x≤４0．

（2）當(dāng)0≤x≤８時(shí)，設(shè)y=a（x-８）2+６４，

y=

把（0，0）代入，得６４a+６４=0，a=-1．

∴y=-（x-８）2+６４=-x2+1６x．

當(dāng)８=x=15時(shí)，y=６４

（3）設(shè)學(xué)生當(dāng)堂檢測的時(shí)間為x分鐘（0=x=15），學(xué)生的學(xué)習(xí)收益總量為W，則老師在課堂用于精講的時(shí)間為（40-x）分鐘．

當(dāng)0=x=8時(shí)，w=-x2+16x+2（40-x）=-x2+14x+80=-（x-7）2+129．

∴當(dāng)x=7時(shí),W 最大=129．

當(dāng)8=x=15時(shí)，W=64+2（40-x）=-2x+144．

∵W隨x的增大而減小， ∴當(dāng)x=8時(shí)，W最大=128

綜合所述，當(dāng)x=7時(shí)，W最大=129，此時(shí)40-x=33．

即老師在課堂用于精講的時(shí)間為33分鐘，學(xué)生當(dāng)堂檢測的時(shí)間為7分鐘時(shí)，學(xué)習(xí)收益總量最大．

“點(diǎn)睛”本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，二次函數(shù)的運(yùn)用，頂點(diǎn)式求二次函數(shù)的最大值的運(yùn)用，解答時(shí)求出二次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.