Question

8．如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AB上和AD的延長線上，且BE=DF，連接EF、CE、CF，G為EF的中點，連接BG．
（1）若CE=2，求FE的長；
（2）連接AC，求證：BG垂直平分AC；
（3）如圖2，在菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在AB上和AD的延長線上，且BE=DF，連接EF，G為EF的中點，連接BG、CG，過F作FH∥DC交CB的延長線于H，那么（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請加以證明，若不成立，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是正方形，得到BC=CD，∠ABC=∠ADC=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CE=CF，推出△ECF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）連接AG，CG，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CG=$\frac{1}{2}$EF，證得AG=CG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ABG=∠CBG，即可得到結(jié)論；
（3）延長AG交FH于M，連接CM，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AEG=∠GFM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG=GM，MF=AE，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB=HF，通過△BAG≌△BCG，得到∠ABG=∠CBG，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ABC=∠ADC=90°，
∴∠CDF=90°，
在△CBF與△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{CB=CD}\\{∠CBE=∠CDF}\\{BE=DF}\end{array}\right.$，
∴CE=CF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+ECD，
∴∠BCD=∠ECF=90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$CE=2$\sqrt{2}$，

（2）如圖1，連接AG，CG，
∵△ECF是等腰直角三角形，G是EF的中點，
∴CG=$\frac{1}{2}$EF，
∵AG=$\frac{1}{2}$EF，
∴AG=CG，
在△BAG與△BCG中，$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{AG=CG}\\{BG=BG}\end{array}\right.$，
∴△BAG≌△BCG，∠ABG=∠CBG，
∵BA=BC，
∴BG⊥AC，OA=OC，
∴BG垂直平分AC；

（3）成立，理由：如圖2，延長AG交FH于M，連接CM，
∵AE∥FH，
∴∠AEG=∠GFM，
在△AEG與△MFG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEG=∠GFM}\\{EG=FG}\\{∠AGE=∠MGF}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△MFG，
∴AG=GM，MF=AE，
∵FH∥AB，AF∥AE，
∴四邊形ABHF是平行四邊形，
∴AB=HF，
∴BE=HM，
∵BE=DF=CH，
∴CH=HM，
∴∠MCH=∠BCA，∠ABC+∠H=180°，
∴∠BAC+∠BCA+∠MCH+∠HMC=180°，
即2∠BCA+2∠HCM=180°，
∴∠BCA+∠HCM=90°，
∴∠ACM=90°，
在Rt△ACM中，AG=GM，
∴CG=$\frac{1}{2}$AM=AG，
在Rt△BAG與Rt△BCG中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{AG=CG}\\{BG=BG}\end{array}\right.$，
∴△BAG≌△BCG，
∴∠ABG=∠CBG，
∵BA=BC，
∴BG⊥AC，AO=CO，
∴BG垂直平分AC．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，正確的做法輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．