Question

【題目】如圖①所示，在△ABC中，點O是AC上一點，過點O的直線與AB，BC的延長線分別相交于點M，N.

【問題引入】

(1)若點O是AC的中點， ，求的值；

溫馨提示：過點A作MN的平行線交BN的延長線于點G.

【探索研究】

(2)若點O是AC上任意一點(不與A，C重合)，求證： ；

【拓展應用】

(3)如圖②所示，點P是△ABC內任意一點，射線AP，BP，CP分別交BC，AC，AB于點D，E，F(xiàn).若， ，求的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）

【解析】試題分析:(1)作AG∥MN交BN延長線于點G,證△ABG∽△MBN得,

即,同理可證△ACG∽△OCN得,結合AO=CO,得NG=CN,從而由進行求解,

(2)由,可知: ,

(3)由(2)可知,在△ABD中有, 在△ACD中有,

從而,因此可得: .

(1)解：過點A作MN的平行線交BN的延長線于點G.∵ON∥AG，∴＝.∵O是AC的中點，∴AO＝CO，∴NG＝CN.∵MN∥AG，∴＝，∴＝＝＝.

(2)證明：由(1)可知＝，＝，∴··＝··＝1.

(3)解：在△ABD中，點P是AD上一點，過點P的直線與AB，BD的延長線分別相交于點F，C.由(2)可得··＝1.在△ACD中，過點P的直線與AC，CD的延長線分別相交于點E，B.由(2)可得··＝1.∴··＝··，∴＝·＝×＝.