Question

6．如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，D，E分別是AB，AC邊的中點，將△ABC繞點B順時針旋轉60°到△A′BC′的位置，則整個旋轉過程中線段DE所掃過部分的面積（即圖中陰影部分面積）為$\frac{π}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AB的長度，再根據(jù)勾股定理求出AC的長度，然后根據(jù)中點定義求出DB、CE的長度，再利用勾股定理求出BE的長度，然后根據(jù)旋轉變換的性質可得陰影部分的面積等于以BE為半徑的扇形面積減去以DB為半徑的扇形的面積，然后列式進行計算即可得解．

解答 解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，
∴AB=2BC=4，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵D、E分別為AB、AC的中點，
∴DB=$\frac{1}{2}$AB=2，CE=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
在Rt△BCE中，BE=$\sqrt{B{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵旋轉角度為120°，
∴陰影部分的面積=$\frac{60•π•B{E}^{2}}{360}$-$\frac{60•π•B{D}^{2}}{360}$=$\frac{7π-4π}{6}$=$\frac{π}{2}$．
故答案為：$\frac{π}{2}$．

點評 本題考查了扇形的面積計算，直角三角形的性質，旋轉變換的性質，觀察出陰影部分的面積的表示是解題的關鍵．