【題目】問題提出:
(1)如圖①,若正方形的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)分別為邊上的點(diǎn),且,與交于點(diǎn),連接,則 ;
問題探究:
(2)如圖②,,是等腰直角三角形,頂點(diǎn)分別在的兩邊上,試說明點(diǎn)在的平分線上;
問題解決:
(3)如圖③,,是等邊三角形,頂點(diǎn)分別在的兩邊上,點(diǎn)在上,且,連接,求的最小值.
【答案】(1)3;(2)見解析;(3)3.
【解析】
(1)先證明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,可得出四邊形GHEF是菱形,再根據(jù)全等三角形角之間的關(guān)系,又可得出菱形的一個(gè)角是直角,那么就可得出四邊形GHEF是正方形.過點(diǎn)O分別作OM⊥AB于點(diǎn)M,ON⊥BC于點(diǎn)N,根據(jù)AAS易得△EOM≌△FON,得出OC=OD,根據(jù)角平分線的判定定理可得OB平分∠ABC,根據(jù)BO=BD可得出結(jié)果..
(2)過點(diǎn)O分別作OC⊥AP于點(diǎn)C,OD⊥PN于點(diǎn)D,證明△EOC≌△BOD,得出OC=OD,根據(jù)角平分線的判定定理可得出結(jié)果.
(3)過點(diǎn)O分別作OC⊥AP于點(diǎn)C,OD⊥PN于點(diǎn)D,同(2)中證法可得點(diǎn)O在∠MPN的平分線上,連接PO,過點(diǎn)Q作QO′⊥PO于點(diǎn)O′,則QO′即為QO的最小值,在Rt△PQO′中求出QO′的值即可.
解:(1)∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA,
∵HA=EB=FC=GD,
∴AE=BF=CG=DH,
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,
∴EF=FG=GH=HE,
∴四邊形EFGH是菱形,
∵△DHG≌△AEH,
∴∠DHG=∠AEH,
∵∠AEH+∠AHE=90°,
∴∠DHG+∠AHE=90°,
∴∠GHE=90°,
∴四邊形EFGH是正方形.
∴EO=FO,∠EOF=90°.
過點(diǎn)O分別作OM⊥AB于點(diǎn)M,ON⊥BC于點(diǎn)N,
根據(jù)AAS易得△EOM≌△FON,
∴MO=NO,
∴BO平分∠ABC,
∴BO=BD=BC=3.
圖①
(2)過點(diǎn)O分別作OC⊥AP于點(diǎn)C,OD⊥PN于點(diǎn)D,
∵∠APB=90°,
∴∠AOB=∠COD=90°,
∴∠AOC=∠BOD,
又AO=BO,∠ACO=∠ODB,
∴△AOC≌△BOD(AAS),
∴CO=DO,
又OC⊥PM,OD⊥PN,
∴點(diǎn)在的平分線上.
(3) 過點(diǎn)O分別作OC⊥PM于點(diǎn)C,OD⊥PN于點(diǎn)D,同(2)中證法可得點(diǎn)O在∠MPN的平分線上,連接PO,過點(diǎn)Q作QO′⊥PO于點(diǎn)O′
∵OP為∠MPN的平分線,
∴∠OPN=60°,
又PQ=6,∴PO′=3,
∴QO′=3.
即QO的最小值為3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知是的直徑,,點(diǎn)、在上,平分,點(diǎn)在外,.
(1)求證:是的切線;
(2)若,求的長(zhǎng);
(3)若,求陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,拋物線的頂點(diǎn)為,與軸交于、兩點(diǎn),且,與軸交于點(diǎn).
求拋物線的函數(shù)解析式;
求的面積;
能否在拋物線第三象限的圖象上找到一點(diǎn),使的面積最大?若能,請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,,與的平分線交于點(diǎn),過點(diǎn)作于點(diǎn),若則的長(zhǎng)為( )
A.B.2C.D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,輪船從點(diǎn)A處出發(fā),先航行至位于點(diǎn)A的南偏西15°且點(diǎn)A相距100km的點(diǎn)B處,再航行至位于點(diǎn)A的南偏東75°且與點(diǎn)B相距200km的點(diǎn)C處.
(1)求點(diǎn)C與點(diǎn)A的距離(精確到1km);
(2)確定點(diǎn)C相對(duì)于點(diǎn)A的方向.
(參考數(shù)據(jù):)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中,,點(diǎn)為三條角平分線的交點(diǎn),于,于,于,且,,,則點(diǎn)到三邊、、的距離為( )
A. 2cm,2cm,2cm B. 3cm,3cm,3cm
C. 4cm,4cm,4cm D. 2cm,3cm,5cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,把△ABC沿直線DE折疊,使△ADE與△BDE重合.
(1)若∠A=35°,則∠CBD的度數(shù)為________;
(2)若AC=8,BC=6,求AD的長(zhǎng);
(3)當(dāng)AB=m(m>0),△ABC的面積為m+1時(shí),求△BCD的周長(zhǎng).(用含m的代數(shù)式表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AC平分∠BCD,AB=AD, AE⊥BC于E,AF⊥CD于F
(1)若∠ABE= 50° ,求∠CDA的度數(shù).
(2)若AE=4,BE=2,CD=6,求四邊形AECD 的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直角坐標(biāo)系中,⊙M經(jīng)過原點(diǎn)O(0,0),點(diǎn)A(,0)與點(diǎn)B(0,﹣1),點(diǎn)D在劣弧OA上,連接BD交x軸于點(diǎn)C,且∠COD=∠CBO.
(1)請(qǐng)直接寫出⊙M的直徑,并求證BD平分∠ABO;
(2)在線段BD的延長(zhǎng)線上尋找一點(diǎn)E,使得直線AE恰好與⊙M相切,求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo).
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