Question

【題目】問題提出：

(1)如圖①，若正方形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)分別為邊上的點(diǎn)，且，與交于點(diǎn)，連接，則 ；

問題探究：

(2)如圖②，，是等腰直角三角形，頂點(diǎn)分別在的兩邊上，試說明點(diǎn)在的平分線上；

問題解決：

(3)如圖③，，是等邊三角形，頂點(diǎn)分別在的兩邊上，點(diǎn)在上，且，連接，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）見解析；（3）3.

【解析】

（1）先證明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，可得出四邊形GHEF是菱形，再根據(jù)全等三角形角之間的關(guān)系，又可得出菱形的一個(gè)角是直角，那么就可得出四邊形GHEF是正方形．過點(diǎn)O分別作OM⊥AB于點(diǎn)M，ON⊥BC于點(diǎn)N，根據(jù)AAS易得△EOM≌△FON，得出OC=OD，根據(jù)角平分線的判定定理可得OB平分∠ABC，根據(jù)BO=BD可得出結(jié)果..

（2）過點(diǎn)O分別作OC⊥AP于點(diǎn)C，OD⊥PN于點(diǎn)D，證明△EOC≌△BOD，得出OC=OD，根據(jù)角平分線的判定定理可得出結(jié)果.

（3）過點(diǎn)O分別作OC⊥AP于點(diǎn)C，OD⊥PN于點(diǎn)D，同（2）中證法可得點(diǎn)O在∠MPN的平分線上，連接PO，過點(diǎn)Q作QO′⊥PO于點(diǎn)O′,則QO′即為QO的最小值，在Rt△PQO′中求出QO′的值即可.

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，
∵HA=EB=FC=GD，
∴AE=BF=CG=DH，
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四邊形EFGH是菱形，
∵△DHG≌△AEH，
∴∠DHG=∠AEH，
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°，
∴∠GHE=90°，
∴四邊形EFGH是正方形．

∴EO=FO,∠EOF=90°.

過點(diǎn)O分別作OM⊥AB于點(diǎn)M，ON⊥BC于點(diǎn)N，

根據(jù)AAS易得△EOM≌△FON，

∴MO=NO，

∴BO平分∠ABC，

∴BO=BD=BC=3.

圖①

（2）過點(diǎn)O分別作OC⊥AP于點(diǎn)C，OD⊥PN于點(diǎn)D，

∵∠APB=90°，

∴∠AOB=∠COD=90°，

∴∠AOC=∠BOD,

又AO=BO,∠ACO=∠ODB，

∴△AOC≌△BOD（AAS），

∴CO=DO,

又OC⊥PM，OD⊥PN，

∴點(diǎn)在的平分線上.

(3) 過點(diǎn)O分別作OC⊥PM于點(diǎn)C，OD⊥PN于點(diǎn)D，同（2）中證法可得點(diǎn)O在∠MPN的平分線上，連接PO，過點(diǎn)Q作QO′⊥PO于點(diǎn)O′,則QO′即為QO的最小值.

∵OP為∠MPN的平分線，

∴∠OPN=60°，

又PQ=6，∴PO′=3，

∴QO′=3.

即QO的最小值為3.