Question

【題目】如圖，與相切于點(diǎn)，為的弦，，與相交于點(diǎn)；

（1）求證：；

（2）若，，求線段的長．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）BP=.

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)已知條件易得∠ABP+∠OBC=90°，∠C+∠CPO=90°，因?yàn)?/span>∠APB=∠CPO， 即可得∠C+∠APB=90°，再由∠C=∠OBC,即可得∠ABP=∠APB,所以AP=AB；（2）過點(diǎn)A作ADBP，垂足為D，所以∠ADP=90°，PD=BP，由勾股定理求得OA的長，再由勾股定理求得CP的長，由∠ADP=∠CPO，∠ADP=∠COP，證得△ADP∽△COP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得PD的長，即可得BP的長.

試題解析：（1）因?yàn)?/span>與相切于點(diǎn)，所以,∠ABP+∠OBC=90°，

因?yàn)?/span>，所以∠C+∠CPO=90°，

因?yàn)?/span>∠APB=∠CPO，所以∠C+∠APB=90°，

因?yàn)镺C=OB，所以∠C=∠OBC,

所以∠ABP=∠APB,

因此AP=AB.

(2) 過點(diǎn)A作ADBP，垂足為D，所以∠ADP=90°，PD=BP

因?yàn)?/span>∠ABO=90°，，，所以,故OA=5

因?yàn)锳P=AB=3，所以O(shè)P=OA-AP=2

因?yàn)?/span>∠COP=90°，所以,

因?yàn)?/span>∠ADP=∠CPO，∠ADP=∠COP，所以△ADP∽△COP.

所以,即PD= ，所以BP=.