Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，AB交y軸于點(diǎn)C，連接OB．

（1）如圖①所示，已知A（-2，0），B（2，4），求△AOB的面積；
（2）如圖②所示，點(diǎn)D在x軸上，∠OBD=∠OBC，求

∠BDA-∠BAD

∠BOC

的值；
（3）如圖③所示，BM⊥x軸于點(diǎn)M，N在y軸上，∠MNB=∠MBN，點(diǎn)P在x軸上，∠MNP=∠MPN，求∠BNP的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形內(nèi)角和定理,坐標(biāo)與圖形性質(zhì),三角形的面積,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出OA、點(diǎn)B到OA的距離，然后利用三角形的面積公式列式計算即可得解；
（2）設(shè)∠OBD=∠OBC=x，根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出∠BAD=45°，再求出∠ACO=45°，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和表示出∠BOC，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理表示出∠BDA，然后代入代數(shù)式整理即可得解；
（3）根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)求出OM、BM，再求出MN，然后根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出∠ONM=30°，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠OMN=60°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠MNB，根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠MNP，然后根據(jù)∠BNP=∠MNB-∠MNP計算即可得解．

解答：解：（1）∵A（-2，0），B（2，4），
∴OA=2，點(diǎn)B到OA的距離是4，
∴△AOB的面積=

1

2

×2×4=4；

（2）設(shè)∠OBD=∠OBC=x，
∵A（-2，0），B（2，4），
∴∠BAD=45°，
∴∠ACO=45°，
由三角形的外角性質(zhì)的，∠BOC=∠ACO-∠OBC=45°-x，
由三角形的內(nèi)角和定理得，∠BDA=180°-∠BAD-∠ABD=180°-45°-2x=135°-2x，
所以，

∠BDA-∠BAD

∠BOC

=

135°-2x-45°

45°-x

=

90°-2x

45°-x

=2；

（3）∵BM⊥x軸，點(diǎn)B（2，4），
∴OM=2，BM=4，
∴MN=4，
∴MN=2OM，
∴∠ONM=30°，
∴∠OMN=90°-30°=60°，
∵M(jìn)N=BM，
∴∠MNB=

1

2

（180°-30°）=75°，
∵∠MNP=∠MPN，
∴∠MNP=

1

2

∠OMN=

1

2

×60°=30°，
∴∠BNP=∠MNB-∠MNP=75°-30°=45°．

點(diǎn)評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，難點(diǎn)在于（2）判斷出∠BAD=45°．