Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，點P是BA延長線上一點，連接PC、BC，∠PCA＝∠B．

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）若PC＝4，PA＝2，求直徑AB的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AB＝6．

【解析】

(1)連接OC，由圓周角定理得出∠ACB=90°，得出∠1+∠2=90°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠PCA=∠2，因此∠1+∠PCA=90°，即PC⊥OC，即可得出結(jié)論

（2)由切割線定理得出PC =PA PB，求出PB，即可得出直徑AB的長解答

（1）證明：連接OC，如圖所示：

∵AB是⊙的直徑，

∴∠ACB＝90°，

即∠1+∠2＝90°，

∵OB＝OC，

∴∠2＝∠B，

又∵∠PCA＝∠B，

∴∠PCA＝∠2，

∴∠1+∠PCA＝90°，

即PC⊥OC，

∴PC是⊙O的切線；

（2）解：∵PC是⊙O的切線，

∴PC2＝PAPB，

∴42＝2×PB，

解得：PB＝8，

∴AB＝PB﹣PA＝8﹣2＝6．