Question

如圖梯形ABCD中，AB∥CD，兩對角線AC與BD相交于O，且BD⊥AD，已知BC=CD=7，AD=2

13

，則sin∠DAC的值為（　�。�

• A、

  2 17

  17

• B、

  13

  7

• C、

  13

  17

• D、

  17

  7

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,平行四邊形的判定與性質(zhì),銳角三角函數(shù)的定義

專題：

分析：延長AD、BC相交于點E，根據(jù)等邊對等角可得∠CBD=∠CDB，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠ABD=∠CDB，然后求出∠CBD=∠ABD，再利用“角邊角”證明△ABD和△EBD全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AD=DE，然后求出DE是△ABE的中位線，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出AB，再利用勾股定理列式求出BD，再求出△ABO和△CDO相似，利用相似三角形對應邊成比例求出

OD

OB

，然后求出OD，利用勾股定理列式求出AO，最后利用銳角三角函數(shù)的正弦等于對邊比斜邊列式計算即可得解．

解答：解：如圖，延長AD、BC相交于點E，
∵BC=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠CBD=∠ABD，
在△ABD和△EBD，

∠CBD=∠ABD BD=BD ∠ADB=∠EDB

，
∴△ABD≌△EBD（ASA），
∴AD=DE，
∵AB∥CD，
∴DE是△ABE的中位線，
∴AB=2CD=2×7=14，
在Rt△ABD中，BD=

AB2-AD2

=

142-(2 13 )2

=12，
∵AB∥CD，
∴△ABO∽△CDO，
∴

OD

OB

=

CD

AB

=

1

2

，
∴OD=12×

1

1+2

=4，
∵BD⊥AD，
∴AO=

AD2+OD2

=

(2 13 )2+42

=2

17

，
∴sin∠DAC=

OD

AO

=

4

2 17

=

2 17

17

．
故選A．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，作輔助線構(gòu)造出全等三角形和CD是中位線的三角形是解題的關(guān)鍵．