Question

（2003•鎮(zhèn)江）保健醫(yī)藥器械廠要生產一批高質量醫(yī)用口罩，要求在8天之內（含8天）生產甲型和乙型兩種型號口罩共5萬只，其中甲型口罩不得少于1.8萬只．該廠生產能力是：每天只能生產一種口罩，如果生產甲型口罩，每天能生產0.6萬只；如果生產乙型口罩，每天能生產0.8萬只，已知生產一只甲型口罩可獲利0.5元，生產一只乙型口罩可獲利0.3元．設該廠在這次任務中生產了甲型口罩x萬只，問：
①該廠生產甲型口罩可獲利潤多少萬元？生產乙型口罩可獲利多少萬元？
②該廠這次生產口罩的總利潤是y萬元，試求y關于x的函數關系式并給出自變量x的取值范圍；
③如果你是該廠廠長，在完成任務的前提下，你怎樣安排生產甲型和乙型口罩的只數，使獲得的總利潤最大，最大利潤是多少？如果要求在最短時間內完成任務，你又怎樣安排生產甲型和乙型口罩的只數？最短時間是多少？

Answer 1

【答案】分析：本題的關鍵是找出總利潤與生產的甲型口罩的只數之間的函數關系，那么根據總利潤=生產甲型口罩的利潤+生產乙型口罩的利潤，然后再根據“生產甲型和乙型兩種型號口罩共5萬只，其中甲型口罩不得少于1.8萬只”來判斷出x的取值范圍，然后根據此函數的特點以及題目給出的條件來計算出利潤最大和時間最短的方案．
解答：解：①0.5x，0.3×（5-x）；

②y=0.5x+0.3×（5-x）=0.2x+1.5，
首先，1.8≤x≤5，但由于生產能力限制，不可能在8天之內全部生產A型口罩，
假設最多用t天生產甲型，則（8-t）天生產乙型，依題意得：0.6t+0.8×（8-t）=5，
解得t=7，故x的最大值只能是0.6×7=4.2，
所以x的取值范圍是1.8≤x≤4.2；

③要使y取得最大值，由于y=0.2x+1.5是一次函數，且y隨x增大而增大，
故當x取最大值4.2時，y取最大值0.2×4.2+1.5=2.34（萬元），
即安排生產甲型4.2萬只，乙型0.8萬只，使獲得的總利潤最大，最大利潤為2.34萬元，
如果要在最短時間內完成任務，全部生產乙型所用時間最短，
但要生產甲型1.8萬只，
因此，除了生產甲型1.8萬只外，其余的3.2萬只應全部改為生產乙型，
所需最短時間為1.8÷0.6+3.2÷0.8=7（天）．
點評：解答一次函數的應用問題中，要注意自變量的取值范圍還必須使實際問題有意義．