Question

【題目】（操作發(fā)現(xiàn)）如圖（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝45°，連接AC，BD交于點(diǎn)M．

①AC與BD之間的數(shù)量關(guān)系為　 　；

②∠AMB的度數(shù)為　 　；

（類比探究）如圖（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，連接AC，交BD的延長線于點(diǎn)M．請計(jì)算的值及∠AMB的度數(shù)；

（實(shí)際應(yīng)用）如圖（3），是一個由兩個都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE組成的圖形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠D＝30°且D、E、B在同一直線上，CE＝1，BC＝ ，求點(diǎn)A、D之間的距離．

Answer 1

【答案】【操作發(fā)現(xiàn)】①AC=BD；②∠AMB=45°；【類比探究】，∠AMB=90°；【實(shí)際應(yīng)用】4或5

【解析】

操作發(fā)現(xiàn):如圖（1），證明△COA≌△DOB（SAS），即可解決問題．

類比探究:如圖（2），證明△COA∽△ODB，可得，∠MAK＝∠OBK，已解決可解決問題．

實(shí)際應(yīng)用:分兩種情形解直角三角形求出BE，再利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．

解：操作發(fā)現(xiàn):如圖（1）中，設(shè)OA交BD于K．

∵∠AOB＝∠COD＝45°，

∴∠COA＝∠DOB，

∵OA＝OB，OC＝OD，

∴△COA≌△DOB（SAS），

∴AC＝DB，∠CAO＝∠DBO，

∵∠MKA＝∠BKO，

∴∠AMK＝∠BOK＝45°，

故答案為：AC＝BD，∠AMB＝45°

類比探究:如圖（2）中，

在△OAB和△OCD中，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，

∴∠COA＝∠DOB，OC＝OD，OA＝OB，

∴，

∴△COA∽△ODB，

∴，∠MAK＝∠OBK，

∵∠AKM＝∠BKO，

∴∠AMK＝∠BOK＝90°．

實(shí)際應(yīng)用:如圖3﹣1中，作CH⊥BD于H，連接AD．

在Rt△DCE中，∵∠DCE＝90°，∠CDE＝30°，EC＝1，

∴∠CEH＝60°，

∵∠CHE＝90°，

∴∠HCE＝30°，

∴EH＝EC＝，

∴CH＝，

在Rt△BCH中，BH＝，

∴BE＝BH﹣EH＝4，

∵△DCA∽△ECB，

∴AD：BE＝CD：EC＝，

∴AD＝4．

如圖3﹣2中，連接AD，作 CH⊥DE于H．

同法可得BH＝，EH＝，

∴BE＝+＝5，

∵△DCA∽△ECB，

∴AD：BE＝CD：EC＝，

∴AD＝5．