Question

（2013•湘西州）如圖，已知拋物線y=-

1

4

x²+bx+4與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，若已知A點的坐標為A（-2，0）．
（1）求拋物線的解析式及它的對稱軸方程；
（2）求點C的坐標，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；
（3）試判斷△AOC與△COB是否相似？并說明理由；
（4）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式，利用配方法或利用公式x=-

b

2a

求出對稱軸方程；
（2）在拋物線解析式中，令x=0，可求出點C坐標；令y=0，可求出點B坐標．再利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式；
（3）根據(jù)

OA

OC

=

OC

OB

，∠AOC=∠BOC=90°，可以判定△AOC∽△COB；
（4）本問為存在型問題．若△ACQ為等腰三角形，則有三種可能的情形，需要分類討論，逐一計算，避免漏解．

解答：解：（1）∵拋物線y=-

1

4

x²+bx+4的圖象經過點A（-2，0），
∴-

1

4

×（-2）²+b×（-2）+4=0，
解得：b=

3

2

，
∴拋物線解析式為 y=-

1

4

x²+

3

2

x+4，
又∵y=-

1

4

x²+

3

2

x+4=-

1

4

（x-3）²+

25

4

，
∴對稱軸方程為：x=3．

（2）在y=-

1

4

x²+

3

2

x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；
令y=0，即-

1

4

x²+

3

2

x+4=0，整理得x²-6x-16=0，解得：x=8或x=-2，
∴A（-2，0），B（8，0）．
設直線BC的解析式為y=kx+b，
把B（8，0），C（0，4）的坐標分別代入解析式，得：

8k+b=0 b=4

，
解得k=-

1

2

，b=4，
∴直線BC的解析式為：y=-

1

2

x+4．

（3）可判定△AOC∽△COB成立．
理由如下：在△AOC與△COB中，
∵OA=2，OC=4，OB=8，
∴

OA

OC

=

OC

OB

，
又∵∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB．

（4）∵拋物線的對稱軸方程為：x=3，
可設點Q（3，t），則可求得：
AC=

22+42

=

20

=2

5

，
AQ=

52+t2

=

25+t2

，
CQ=

32+(t-4)2

=

(t-4)2+9

．
i）當AQ=CQ時，
有

25+t2

=

(t-4)2+9

，
25+t²=t²-8t+16+9，
解得t=0，
∴Q₁（3，0）；
ii）當AC=AQ時，
有

25+t2

=2

5

，
t²=-5，此方程無實數(shù)根，
∴此時△ACQ不能構成等腰三角形；
iii）當AC=CQ時，
有

(t-4)2+9

=2

5

，
整理得：t²-8t+5=0，
解得：t=4±

11

，
∴點Q坐標為：Q₂（3，4+

11

），Q₃（3，4-

11

）．
綜上所述，存在點Q，使△ACQ為等腰三角形，點Q的坐標為：Q₁（3，0），Q₂（3，4+

11

），Q₃（3，4-

11

）．

點評：本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象與性質、待定系數(shù)法、相似三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的判定等知識點．難點在于第（4）問，符合條件的等腰三角形△ACQ可能有多種情形，需要分類討論．