Question

如圖，已知銳角△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的中點．
（1）求證：MN⊥DE；
（2）連結(jié)DM，ME，猜想∠A與∠DME之間的關(guān)系，并寫出推理過程；
（3）若將銳角△ABC變?yōu)殁g角△ABC，如圖，上述（1）（2）中的結(jié)論是否都成立？若結(jié)論成立，直接回答，不需證明；若結(jié)論不成立，說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接DM、ME，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DM=

1

2

BC，ME=

1

2

BC，從而得到DM=ME，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證明；
（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等表示出∠BMD+∠CME，然后根據(jù)平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解；
（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再根據(jù)等腰三角形兩底角相等和三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和表示出∠BME+∠CME，然后根據(jù)平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解．

解答：解：（1）如圖，連接DM，ME，
∵CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M是BC的中點，
∴DM=

1

2

BC，ME=

1

2

BC，
∴DM=ME
又∵N為DE中點，
∴MN⊥DE；

（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵DM=ME=BM=MC，
∴∠BMD+∠CME=（180°-2∠ABC）+（180°-2∠ACB），
=360°-2（∠ABC+∠ACB），
=360°-2（180°-∠A），
=2∠A，
∴∠DME=180°-2∠A；

（3）結(jié)論（1）成立，
結(jié)論（2）不成立，
理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵DM=ME=BM=MC，
∴∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC，
=2（180°-∠A），
=360°-2∠A，
∴∠DME=180°-（360°-2∠A），
=2∠A-180°．

點評：本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，整體思想的利用是解題的關(guān)鍵．