【題目】如圖,拋物線的對(duì)稱軸是直線,與軸交于兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn),交直線于點(diǎn).
(1)求拋物線解析式;
(2)若點(diǎn)在第一象限內(nèi),當(dāng)時(shí),求四邊形的面積;
(3)在(2)的條件下,若點(diǎn)為直線上一點(diǎn),點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn),是否存在這樣的點(diǎn)和點(diǎn),使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在上,直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【溫馨提示:考生可以根據(jù)題意,在備用圖中補(bǔ)充圖形,以便探究】
【答案】(1)y=x2﹣x﹣2;(2);(3)y=x2﹣x﹣2;(2);(3)N(,﹣)或(4.6,)或(5﹣,)或(5+,),以點(diǎn)B,D,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.
【解析】
試題分析:(1)由拋物線y=ax2+bx﹣2的對(duì)稱軸是直線x=1,A(﹣2,0)在拋物線上,于是列方程即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù)函數(shù)解析式得到B(4,0),C(0,﹣2),求得BC的解析式為y=x﹣2,設(shè)D(m,0),得到E(m,m﹣2),P(m,m2﹣m﹣2),根據(jù)已知條件列方程得到m=5,m=0(舍去),求得D(5,0),P(5,),E(5,),根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論;
(3)設(shè)M(n,n﹣2),①以BD為對(duì)角線,根據(jù)菱形的性質(zhì)得到MN垂直平分BD,求得n=4+,于是得到N(,﹣);②以BD為邊,根據(jù)菱形的性質(zhì)得到MN∥BD,MN=BD=MD=1,過(guò)M作MH⊥x軸于H,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論.
試題解析:(1)∵拋物線y=ax2+bx﹣2的對(duì)稱軸是直線x=1,A(﹣2,0)在拋物線上,∴,解得:,拋物線解析式為y=x2﹣x﹣2;
(2)令y=x2﹣x﹣2=0,解得:x1=﹣2,x2=4,當(dāng)x=0時(shí),y=﹣2,∴B(4,0),C(0,﹣2),設(shè)BC的解析式為y=kx+b,則,解得:,∴y=x﹣2,
設(shè)D(m,0),
∵DP∥y軸,∴E(m,m﹣2),P(m,m2﹣m﹣2),
∵OD=4PE,∴m=4(m2﹣m﹣2﹣m+2),
∴m=5,m=0(舍去),∴D(5,0),P(5,),E(5,),
∴四邊形POBE的面積=S△OPD﹣S△EBD=×5×﹣×1×=;
(3)存在,設(shè)M(n,n﹣2),
①以BD為對(duì)角線,如圖1,
∵四邊形BNDM是菱形,∴MN垂直平分BD,
∴n=4+,∴M(,),
∵M,N關(guān)于x軸對(duì)稱,∴N(,﹣);
②以BD為邊,如圖2,
∵四邊形BNDM是菱形,∴MN∥BD,MN=BD=MD=1,
過(guò)M作MH⊥x軸于H,
∴MH2+DH2=DM2,即(n﹣2)2+(n﹣5)2=12,
∴n1=4(不合題意),n2=5.6,∴N(4.6,),
同理(n﹣2)2+(4﹣n)2=1,
∴n1=4+(不合題意,舍去),n2=4﹣,
∴N(5﹣,),
③以BD為邊,如圖3,
過(guò)M作MH⊥x軸于H,
∴MH2+BH2=BM2,即(n﹣2)2+(n﹣4)2=12,
∴n1=4+,n2=4﹣(不合題意,舍去),
∴N(5+,),
綜上所述,當(dāng)N(,﹣)或(4.6,)或(5﹣,)或(5+,),以點(diǎn)B,D,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形中,點(diǎn)是邊的中點(diǎn),連接并延長(zhǎng),交延長(zhǎng)線于點(diǎn)連接.
(1)求證:四邊形是平行四邊形;
(2)若,則當(dāng) 時(shí),四邊形是矩形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】點(diǎn)A(3,m)、B(2,n)都在直線y=-4x+3上,則m、n關(guān)系是( )
A.m>n
B.m<n
C.m=n
D.不能確定
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形,點(diǎn)在邊所在的直線上,連接,以為邊,作正方形(點(diǎn),點(diǎn)在直線的同側(cè)),連接
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng);
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí),
①求點(diǎn)到的距離
②求的長(zhǎng)
(3)若,請(qǐng)直接寫出此時(shí)的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列計(jì)算正確的是( )
A.a2+a2=a4
B.a6÷a2=a4
C.(a2)3=a5
D.(a﹣b)2=a2﹣b2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列各式從左到右的變形中,因式分解正確的是( )
A.x2﹣7x+12=x(x﹣7)+12
B.x2﹣7x+12=(x﹣3)(x+4)
C.x2﹣7x+12=(x﹣3)(x﹣4)
D.x2﹣7x+12=(x+3)(x+4)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知a,b,c是三角形的三邊,那么代數(shù)式(a﹣b)2﹣c2的值( )
A.大于零
B.小于零
C.等于零
D.不能確定
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)P(﹣2,1),則點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列判定直角三角形全等的方法,不正確的是( )
A. 斜邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等
B. 兩銳角對(duì)應(yīng)相等
C. 兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等
D. 斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等
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