【題目】如圖,點(diǎn)P是菱形ABCD的對(duì)角線BD上的一動(dòng)點(diǎn),連接CP并延長(zhǎng)交AD于E,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.
(1)求證:△APD≌△CPD.
(2)當(dāng)菱形ABCD變?yōu)檎叫,且PC=2,tan∠PFA= 時(shí),求正方形ABCD的邊長(zhǎng).
【答案】
(1)解 :∵四邊形ABCD是菱形 ,
∴DC=DA ,∠CDB=∠ADB
,又DP=DP ,
∴△APD≌△CPD.
(2)解 :∵△APD≌△CPD.
∴∠DAP=∠DCP,
∵CD∥BF,
∴∠DCP=∠F,
∴∠DAP=∠F,
又∵∠APE=∠FPA,
∴△APE∽△FPA,
∴AP∶FP=PE∶PA,
∴PA2=PEPF,
∵△APD≌△CPD,
∴PA=PC,
∴PC2=PEPF;
∵tan∠PFA= ,∠DCP=∠F,
∴tan∠DCP== ,
∴DC=2DE ,
∵四邊形ABCD是正方形 ,
∴DC=DA ,
∴DA=2DE ,
即點(diǎn)E是DA的中點(diǎn) ,
∴DE=EA
在DCE與AFE中,
∵∠DCP=∠F
∠DEC=∠AEF
DE=AE
∴DCE≌AFE
∴EC=EF ,設(shè)PE=x ,則EC=EF=x+2 ,PF=2X+2
22=X·(2x+2)
解得 x1=-2 (舍去) ,x2=1 ,
∴CE=3 ,
再RtDEC中,設(shè)DE=y ,則DC=2y ,根據(jù)勾股定理得y2+(2y)2=32
解得 y±= ,∴DE=
∴DC= ,
即正方形的邊長(zhǎng)為
【解析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)得出DC=DA ,∠CDB=∠ADB,又DP=DP ,從而利用AAS判斷出△APD≌△CPD;
(2)首先由全等三角形的性質(zhì)得出∠DAP=∠DCP,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DCP=∠F,,從而得出∠DAP=∠F,又∠APE=∠FPA,故△APE∽△FPA ,根據(jù)相似三角行的性質(zhì)得出AP∶FP=PE∶PA,即PA2=PEPF,又由全等三角形的性質(zhì)得出PA=PC,從而得出PC2=PEPF;根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義及等角的同名三角函數(shù)值相等得出DC=2DE ,根據(jù)正方形的性質(zhì)得出DE=EA ,然后利用AAS判斷出DCE≌AFE ,得出EC=EF ,設(shè)PE=x ,則EC=EF=x+2 ,PF=2X+2 ,從而得出關(guān)于x的方程求解得出x的值,從而得出CE的長(zhǎng),再RtDEC中,設(shè)DE=y ,則DC=2y ,根據(jù)勾股定理得出關(guān)于y的方程,求解得出y的值,進(jìn)而得出正方形的邊長(zhǎng)。
【考點(diǎn)精析】掌握菱形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道菱形的四條邊都相等;菱形的對(duì)角線互相垂直,并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角;菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形;菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半;正方形四個(gè)角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對(duì)角線相等,并且互相垂直平分,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角;正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形;正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在折線ABCDEFG中,已知∠1=∠2=∠3=∠4=∠5,延長(zhǎng)AB、GF交于點(diǎn)M.試探索∠AMG與∠3的關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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【題目】某中學(xué)對(duì)全校學(xué)生進(jìn)行文明禮儀知識(shí)測(cè)試,為了解測(cè)試結(jié)果,隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行分析,將成績(jī)分為三個(gè)等級(jí):不合格、一般、優(yōu)秀,并繪制成如下兩幅統(tǒng)計(jì)圖(不完整).
請(qǐng)你根據(jù)圖中所給的信息解答下列問題:
(1)請(qǐng)將以上兩幅統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)若“一般”和“優(yōu)秀”均被視為達(dá)標(biāo)成績(jī),則該校被抽取的學(xué)生中有______人達(dá)標(biāo);
(3)若該校學(xué)生有學(xué)生 2000人,請(qǐng)你估計(jì)此次測(cè)試中,全校達(dá)標(biāo)的學(xué)生有多少人?
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【題目】已知∠是銳角,∠是鈍角,且∠+∠=180°,那么下列結(jié)論正確的是( )
A. ∠的補(bǔ)角和∠的補(bǔ)角相等 B. ∠的余角和∠的補(bǔ)角相等
C. ∠的余角和∠的補(bǔ)角互余 D. ∠的余角和∠的補(bǔ)角互補(bǔ)
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【題目】如圖,是等腰三角形,,.
尺規(guī)作圖:作的角平分線BD,交AC于點(diǎn)保留作圖痕跡,不寫作法;
判斷是否為等腰三角形,并說(shuō)明理由.
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【題目】如圖,A(4,0),B(3,3),以AO,AB為邊作平行四邊形OABC,則經(jīng)過(guò)C點(diǎn)的反比例函數(shù)的解析式為 .
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【題目】如圖1,在△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)P為ΔABC內(nèi)一點(diǎn).
(1)連接PB,PC,將ABCP沿射線CA方向平移,得到ΔDAE,點(diǎn)B,C,P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D、A、E,連接CE.
①依題意,請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形;
②如果BP⊥CE,BP=3,AB=6,求CE的長(zhǎng)
(2)如圖3,以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心,將ΔABP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMN,連接PA、PB、PC,當(dāng)AC=3,AB=6時(shí),根據(jù)此圖求PA+PB+PC的最小值.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠A=60°,點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn),DE⊥BC,∠ABC的角平分線BF交DE于△ABC內(nèi)一點(diǎn)P,連接PC.
(1)若∠ACP=24°,求∠ABP的度數(shù);
(2)若∠ACP=m°,∠ABP=n°,請(qǐng)直接寫出m,n滿足的關(guān)系式: .
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,A、B均在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上.
(1)求線段AB所在直線的函數(shù)解析式,并寫出當(dāng)0≤y≤2時(shí),自變量x的取值范圍
(2)將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段AC,請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫出線段AC.
(3)若直線AC的函數(shù)解析式為y=kx+b,則y隨x的增大而 (填“增大”或“減小”).
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