Question

如圖，PB切⊙O于B點，直線PO交⊙O于點E，F(xiàn)，過點B作PO的垂線BA，垂足為點D，交⊙O于點A，延長AO交⊙O于點C，連結(jié)BC、AF． 
（1）求證：直線PA為⊙O的切線；
（2）若OF：OD=5：4，求S_△AOF：S_△ABC的比值，
（3）在（2）的條件下，若AF等于3

10

，求⊙O的半徑長．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）連接OB，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OBP=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠AOD=∠BOD，從而可得△OAP≌△OBP，則有∠OAP=∠OBP=90°，即可證到直線PA為⊙O的切線；
（2）易證△ADO∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得

S△ADO

S△ABC

=

1

4

．由OF：OD=5：4可得

S△AOF

S△ADO

=

OF

OD

=

5

4

，即可求出

S△AOF

S△ABC

的值；
（3）設(shè)OF=5k，則OD=4k，OA=5k，F(xiàn)D=9k，AD=3k，然后在Rt△ADF中運用勾股定理就可解決問題．

解答：解：（1）連接OB，如圖所示，
∵PB切⊙O于B點，
∴∠OBP=90°．
∵OA=OB，OD⊥AB，
∴∠AOD=∠BOD．
在△OAP和△OBP中，

OA=OB ∠AOP=∠BOP OP=OP

，
∴△OAP≌△OBP（SAS），
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∴直線PA為⊙O的切線；

（2）∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC=90°，
∴∠ADO=∠ABC=90°，
∴OD∥BC，
∴△ADO∽△ABC，
∴

S△ADO

S△ABC

=（

AO

AC

）²=

1

4

．
∵OF：OD=5：4，
∴

S△AOF

S△ADO

=

OF

OD

=

5

4

，
∴

S△AOF

S△ABC

=

S△AOF

S△ADO

•

S△ADO

S△ABC

=

5

4

×

1

4

=

5

16

．
即S_△AOF：S_△ABC為5：16；

（3）設(shè)OF=5k，則OD=4k，OA=5k，F(xiàn)D=9k，
∵∠ADF=90°，
∴AD=3k，
∵AF=3

10

，
∴AF²=AD²+DF²=90，
∴9k²+81k²=90，
解得k=±1（舍負），
∴OF=5，
即⊙O的半徑長為5．

點評：本題主要考查了圓的切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積等知識，將S_△AOF、S_△ABC分別與S_△ADO相聯(lián)系是解決第（2）小題的關(guān)鍵．