Question

如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G，△CEF與△ABE的面積比為（　�。�

• A、3：2
• B、2：1
• C、5：3
• D、無法確定

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),勾股定理

專題：計算題

分析：易證Rt△ABE≌Rt△ADF，從而得到BE=DF，進而得到CE=CF．設(shè)BE=x，CE=y，在Rt△ABE中，運用勾股定理就可得到2x²+2xy=y²．從而可以求出△CEF與△ABE的面積比．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，△AEF是等邊三角形，
∴∠B=∠BCD=∠D=90°，AB=BC=DC=AD，AE=AF=EF．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，

AB=AD AE=AF

．
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）．
∴BE=DF．
∴CE=CF．
設(shè)BE=x，CE=y，
則CF=CE=y，AB=BC=x+y，AE=EF=

2

y．
在Rt△ABE中，
∵∠B=90°，AB=x+y，BE=x，AE=

2

y，
∴（x+y）²+x²=（

2

y）²．
整理得：2x²+2xy=y²．
∴S_△CEF：S_△ABE
=（

1

2

CE•CF）：（

1

2

AB•BE）
=（CE•CF）：（AB•BE）
=y²：[（x+y）x]
=（2x²+2xy）：（x²+xy）
=2：1．
故選：B．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，而采用整體思想（把x²+xy看成一個整體）是解決本題的關(guān)鍵．