Question

在平面直角坐標系中，有點A（2，0），B（0，3），C（0，2），點D在第二象限，且△AOB≌△OCD．
（1）請在圖中畫出△OCD，并直接寫出點D的坐標：D

 

；
（2）點P在直線AC上，且△PCD是等腰直角三角形，求點P的坐標．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標與圖形性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)△AOB≌△OCD可得DC=BO，再根據(jù)B（0，3），C（0，2）可得D點坐標；
（2）①當CD為直角邊時過點D作P₁D⊥CD，交AC于P₁，DC∥OA可得△P₁DC為等腰直角三角形，進而得到CD=DP₁=3，可得P₁點坐標；
②當CD為斜邊時，過點D作DP₂⊥AC于P₂，易得△CP₂D為等腰直角三角形，作P₂E⊥CD于E，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CD=DP₁=3，進而得到P₂點坐標．

解答：解：（1）正確畫出△COD，
∵△AOB≌△OCD，
∴DC=BO，
∵B（0，3），C（0，2），
∴D（-3，2）；

（2）由OC=OA=2，∠AOC=90°，
∴∠OAC=45°．
①當CD為直角邊時，
如圖，過點D作P₁D⊥CD，交AC于P₁，
∵DC∥OA，
∴∠P₂CD=∠CAO，
∴△P₁DC為等腰直角三角形，
∵CD=DP₁=3，
∴P₁（-3，5）．         
②當CD為斜邊時，
如圖，過點D作DP₂⊥AC于P₂，易得△CP₂D為等腰直角三角形，作P₂E⊥CD于E，易得
CE=P₂E=

1

2

CD=1.5，
∴P₂（-1.5，3）．     
綜上，在直線AC上，使△PCD是等腰直角三角形的點P坐標為：P₁（-3，5），P₂（-1.5，3.5）．

點評：此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等．