(2010•天津)在平面直角坐標系中,已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點A、B點A在點B的左側,與y軸的正半軸交于點C,頂點為E.
(1)若b=2,c=3,求此時拋物線頂點E的坐標;
(2)將(1)中的拋物線向下平移,若平移后,在四邊形ABEC中滿足S△BCE=S△ABC,求此時直線BC的解析式;
(3)將(1)中的拋物線作適當?shù)钠揭,若平移后,在四邊形ABEC中滿足S△BCE=2S△AOC,且頂點E恰好落在直線y=-4x+3上,求此時拋物線的解析式.
【答案】分析:(1)已知了b、c的值,即可確定拋物線的解析式,通過配方或用公式法即可求出其頂點E的坐標;
(2)在拋物線向下平移的過程中,拋物線的形狀沒有發(fā)生變化,所以b值不變,變化的只是c的值;可用c表示出A、B、C的坐標,若S△BCE=S△ABC,那么兩個三角形中BC邊上的高就應該相等;可過E作EF∥BC,交x軸于F,根據(jù)平行線分線段成比例定理知AB=BF,由此可求出BF的長;易證得Rt△EDF∽Rt△COB,根據(jù)相似三角形所得到的成比例線段即可求出c的值,也就確定了拋物線的解析式,即可得到C、B的坐標,進而可用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式;
(3)可設平移后拋物線的解析式為y=-(x-h)2+k,與(2)的方法類似,也是通過作平行線,求出BF、DF的長,進而根據(jù)相似三角形來求出h、k的關系式,進而可根據(jù)E點在直線y=-4x+3上求出h、k的值,進而可確定平移后的拋物線解析式.
解答:解:(1)當b=2,c=3時,拋物線的解析式為y=-x2+2x+3,即y=-(x-1)2+4;
∴拋物線頂點E的坐標為(1,4)(2分)

(2)將(1)中的拋物線向下平移,則頂點E在對稱軸x=1上,有b=2,
∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+c(c>0);
∴此時,拋物線與y軸的交點為C(0,c),頂點為E(1,1+c);
∵方程-x2+2x+c=0的兩個根為,
∴此時,拋物線與x軸的交點為A(1-,0),B(1+,0);
如圖,過點E作EF∥CB與x軸交于點F,連接CF,則S△BCE=S△BCF
∵S△BCE=S△ABC,
∴S△BCF=S△ABC

設對稱軸x=1與x軸交于點D,

由EF∥CB,得∠EFD=∠CBO
∴Rt△EDF∽Rt△COB,有
結合題意,解得
∴點,
設直線BC的解析式為y=mx+n,則
,解得
∴直線BC的解析式為;(6分)

(3)根據(jù)題意,設拋物線的頂點為E(h,k),h>0,k>0;
則拋物線的解析式為y=-(x-h)2+k,
此時,拋物線與y軸的交點為C,(0,-h2+k),
與x軸的交點為,、
過點E作EF∥CB與x軸交于點F,連接CF,
則S△BCE=S△BCF;
由S△BCE=2S△AOC
∴S△BCF=2S△AOC,得;
設該拋物線的對稱軸與x軸交于點D;

于是,由Rt△EDF∽Rt△COB,有
,即2h3+(2k-3h2-3hk=0,
(2h-)(h-2)=0,
>h>0,
解得①,h=2(舍去),
∵點E(h,k)在直線y=-4x+3上,有k=-4h+3②
∴由①②,結合題意,解得
有k=1,
∴拋物線的解析式為.(10分)
點評:本題著重考查了二次函數(shù)與坐標軸交點及頂點坐標的求法、二次函數(shù)圖象的平移、圖象面積的求法、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定和性質等知識的綜合應用能力,能力要求很高,難度較大.
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