Question

（2013•漳州）（1）問題探究
數(shù)學(xué)課上，李老師給出以下命題，要求加以證明．
如圖1，在△ABC中，M為BC的中點(diǎn)，且MA=

1

2

BC，求證∠BAC=90°．
同學(xué)們經(jīng)過思考、討論、交流，得到以下證明思路：
思路一 直接利用等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理…
思路二 延長AM到D使DM=MA，連接DB，DC，利用矩形的知識…
思路三 以BC為直徑作圓，利用圓的知識…
思路四…
請選擇一種方法寫出完整的證明過程；
（2）結(jié)論應(yīng)用
李老師要求同學(xué)們很好地理解（1）中命題的條件和結(jié)論，并直接運(yùn)用（1）命題的結(jié)論完成以下兩道題：
①如圖2，線段AB經(jīng)過圓心O，交⊙O于點(diǎn)A，C，點(diǎn)D在⊙O上，且∠DAB=30°，OA=a，OB=2a，求證：直線BD是⊙0的切線；
②如圖3，△ABC中，M為BC的中點(diǎn)，BD⊥AC于D，E在AB邊上，且EM=DM，連接DE，CE，如果∠A=60°，請求出△ADE與△ABC面積的比值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件可以得出BM=CM=MA，由等腰三角形的性質(zhì)就可以得出∠1=∠B，∠2=∠C，由三角形內(nèi)角和定理就可以求出結(jié)論；
（2）①連接OD，CD，由圓的性質(zhì)就可以得出AO=OD=OC=a，再由條件就可以得出△ODC是等邊三角形，由外角與內(nèi)角的關(guān)系就可以求出∠BDC=30°，從而得出∠ODB=90°而得出結(jié)論；
②運(yùn)用（1）的結(jié)論可以得出∠ADB=∠AEC=90°，從而有△ADB∽△AEC，由相似的性質(zhì)可以得出△ADE∽△ABC，由相似三角形的面積之比等于相似比平方，最后由銳角三角形函數(shù)值就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）問題研究，∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，
∴BM=CM=

1

2

BC．
∵M(jìn)A=

1

2

BC，
∴BM=CM=MA，
∴∠1=∠B，∠2=∠C．
∵∠1+∠B+∠2+∠C=180°，
∴2∠1+2∠2=180°，
∴∠1+∠2=90°，
即∠BAC=90°；

（2）①連接OD，CD，
∴AO=OD=OC=a，
∴∠BOD=2∠A=60°，
∴△ODC是等邊三角形，
∴CD=OC=a，∠DCO=∠CDO=60°．
∵OB=2a，
∴BC=a，
∴BC=DC，
∴∠B=∠BDC，
∴2∠BDC=60°，
∴∠BDC=30°，
∴∠BDO=∠BDC+∠CDO=90°，
∴直線BD是⊙0的切線
②∵M(jìn)為BC的中點(diǎn)，BD⊥AC于D，
∴DM=

1

2

BC．
∵EM=DM，
∴EM=

1

2

BC，
∴∠BEC=90°．
∴∠ADB=∠AEC=90°．
∵∠A=∠A，
∴△ADB∽△AEC，
∴

AD

AE

=

AB

AC

，
∴

AD

AB

=

AE

AC

．
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴

S△ADE

S△ABC

=（

AD

AB

）²．
∵cos∠A=

AD

AB

，且∠A=60°，
∴

AD

AB

=

1

2

，
∴

S△ADE

S△ABC

=

1

4

．
∴△ADE與△ABC面積的比值為

1

4

．

點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，切線的判定方法的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合三角函數(shù)值求解是難點(diǎn)．