Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝BC＝10，tan∠ABC＝，點P是邊BC上的一點，M是線段AP上一點，線段PM繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得線段PN，設BP＝t．

(1)如圖①，當點P在點B，點M是AP中點時，試求AN的長；

(2)如圖②，當＝時，

①求點N到BC邊的距離(用含t的代數(shù)式表示)；

②當點P從點B運動至點C時，試求點N運動路徑的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①當0≤t≤6時，，當6≤t≤10時，；②

【解析】

（1）根據(jù)直角三角形中的勾股定理進行解答即可；
（2）①分0≤t≤6和6≤t≤10兩種情況，利用相似三角形進行解答；
②利用勾股定理進行計算即可．

（1）∵在Rt△ABN中，∠ABN＝90°，AB＝10，

∴BN＝BM＝AB＝5，

∴AN＝＝；

（2）①（Ⅰ）當0≤t≤6時（如圖①），

圖①圖②

如解圖：過點A作AE⊥BC于點E，過點N作NF⊥BC于點F，

∵tan∠ABC＝＝，設AE＝4x，則BE＝3x，

在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，

∴AB2＝AE2＋BE2，102＝（3x）2＋（4x）2，

解得：x＝2，∴AE＝8，BE＝6

當0≤t≤6時．

∵∠AEP＝∠PFN＝90°，∠APE＋∠FPN＝90°，∠APF＋∠PAE＝90°，

∴∠PAE＝∠FPN，

∴△APE∽△PNF，

∵＝，

∴＝＝＝，

∴；

（Ⅱ）當6≤t≤10時，

同理可得：

②如圖②點N的運動路徑是一條線段，

當P與O重合時，FN＝，PF＝2，

當P與C重合時，F′N′＝1，CF′＝2，

∴點N的路徑長NN′＝＝．