【題目】已知四邊形ABCD中,E,F(xiàn)分別是AB,AD邊上的點(diǎn),DE與CF交于點(diǎn)G.
(1)如圖1,若四邊形ABCD是矩形,且DE⊥CF.證明:=;
(2)如圖2,若四邊形ABCD是平行四邊形,試探究:
當(dāng)∠B與∠EGC滿足什么關(guān)系時(shí),使得=成立?并證明你的結(jié)論;
(3)如圖3,若BA=BC= 3,DA=DC= 4,∠BAD= 90°,DE⊥CF.求的值.
【答案】(1)見解析;(2)當(dāng)∠B+∠EGC=180°時(shí),=成立.證明見解析;(3).
理由見解析.
【解析】
(1)根據(jù)矩形性質(zhì)得出∠A=∠FDC=90°,求出∠CFD=∠AED,證出△AED∽△DFC即可;
(2)當(dāng)∠B+∠EGC=180°時(shí),DECD=CFAD成立,證△DFG∽△DEA,得出,證△CGD∽△CDF,得出,即可得出答案;
(3)過C作CN⊥AD于N,CM⊥AB交AB延長線于M,連接BD,設(shè)CN=x,△BAD≌△BCD,推出∠BCD=∠A=90°,證△BCM∽△DCN,求出CM=x,在Rt△CMB中,由勾股定理得出BM2+CM2=BC2,代入得出方程(x-3)2+(x)2=62,求出CN=,證出△AED∽△NFC,即可得出答案.
(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠A=∠FDC=90°,
∵CF⊥DE,
∴∠DGF=90°,
∴∠ADE+∠CFD=90°,∠ADE+∠AED=90°,
∴∠CFD=∠AED,
∵∠A=∠CDF,
∴△AED∽△DFC,
∴,即=.
(2)當(dāng)∠B+∠EGC=180°時(shí),=成立.
證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴∠B=∠ADC,AD∥BC,
∴∠B+∠A=180°,
∵∠B+∠EGC=180°,
∴∠A=∠EGC=∠FGD,
∵∠FDG=∠EDA,
∴△DFG∽△DEA,
∴,
∵∠B=∠ADC,∠B+∠EGC=180°,∠EGC+∠DGC=180°,
∴∠CGD=∠CDF,
∵∠GCD=∠DCF,
∴△CGD∽△CDF,
∴,
∴,
∴,
即當(dāng)∠B+∠EGC=180°時(shí),成立.
(3)解:.
理由是:過C作CN⊥AD于N,CM⊥AB交AB延長線于M,連接BD,
設(shè)CN=x,
∵AB⊥AD,
∴∠A=∠M=∠CNA=90°,
∴四邊形AMCN是矩形,
∴AM=CN,AN=CM,
∵在△BAD和△BCD中
∴△BAD≌△BCD(SSS),
∴∠BCD=∠A=90°,
∴∠ABC+∠ADC=180°,
∵∠ABC+∠CBM=180°,
∴∠CBM=∠ADC,
∵∠CND=∠M=90°,
∴△BCM∽△DCN,
∴,
∴
∴
在Rt△CMB中,,BM=AM﹣AB=x﹣3,由勾股定理得:,
∴,
解得x=0(舍去),x=
∴CN=,
∵∠A=∠FGD=90°,
∴∠AED+∠AFG=180°,
∵∠AFG+∠NFC=180°,
∴∠AED=∠CFN,
∵∠A=∠CNF=90°,
∴△AED∽△NFC,
∴
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自變量),當(dāng)x≥2時(shí),y隨x的增大而增大,且2≤x≤1時(shí),y的最大值為9,則a的值為
A. 1或2 B. 或
C. D. 1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一座堤壩的橫截面是梯形,根據(jù)圖中給出的數(shù)據(jù),求壩高和壩底寬(精確到0.1m)參考數(shù)據(jù):≈1.414,≈1.732
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:拋物線y=-+bx+c經(jīng)過A(-1,0)、B(5,0)兩點(diǎn),頂點(diǎn)為P.
求:(1)求b,c的值;
(2)求△ABP的面積;
(3)若點(diǎn)C(,)和點(diǎn)D(,)在該拋物線上,則當(dāng)時(shí),請寫出與的大小關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=x2+(2m+1)x+(m2﹣1)有最小值﹣2,則m=________.
【答案】
【解析】試題解析:∵二次函數(shù)有最小值﹣2,
∴y=﹣,
解得:m=.
【題型】填空題
【結(jié)束】
19
【題目】如圖,已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(-2,3),B(-3,-1),C(-1,1)
(1)畫出△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A1B1C1,并寫出點(diǎn)A1的坐標(biāo);
(2)畫出△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后的△A2B2C2,并寫出點(diǎn)A2的坐標(biāo);
(3)直接回答:∠AOB與∠A2OB2有什么關(guān)系?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB、CD是半徑為5的⊙O的兩條弦,AB=8,CD=6,MN是直徑,AB⊥MN于點(diǎn)E,CD⊥MN于點(diǎn)F,P為EF上的任意一點(diǎn),則PA+PC的最小值為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB與⊙O相切于點(diǎn)B,BC為⊙O的弦,OC⊥OA,OA與BC相交于點(diǎn)P.
(1)求證:AP=AB;
(2)若OB=4,AB=3,求線段BP的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(感知)如圖①,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P在邊AB上(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合),∠A=∠B=∠DPC=90°.易證:△DAP∽△PBC(不要求證明).
(探究)如圖②,在四邊形ABCD中,點(diǎn)P在邊AB上(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合),∠A=∠B=∠DPC.
(1)求證:△DAP~△PBC.
(2)若PD=5,PC=10,BC=9,求AP的長.
(應(yīng)用)如圖③,在△ABC中,AC=BC=4,AB=6,點(diǎn)P在邊AB上(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合),連結(jié)CP,作∠CPE=∠A,PE與邊BC交于點(diǎn)E.當(dāng)CE=3EB時(shí),求AP的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分12分)
已知:把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖(1)擺放(點(diǎn)C與點(diǎn)E重合),點(diǎn)B、C(E)、F在同一條直線上.∠ACB = ∠EDF = 90°,∠DEF = 45°,AC = 8 cm,BC = 6 cm,EF = 9 cm.
如圖(2),△DEF從圖(1)的位置出發(fā),以1 cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動(dòng),在△DEF移動(dòng)的同時(shí),點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)B出發(fā),以2 cm/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng).當(dāng)△DEF的頂點(diǎn)D移動(dòng)到AC邊上時(shí),△DEF停止移動(dòng),點(diǎn)P也隨之停止移動(dòng).DE與AC相交于點(diǎn)Q,連接PQ,設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t(s)(0<t<4.5).
解答下列問題:
(1)當(dāng)t為何值時(shí),點(diǎn)A在線段PQ的垂直平分線上?
(2)連接PE,設(shè)四邊形APEC的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;是否存在某一時(shí)刻t,使面積y最?若存在,求出y的最小值;若不存在,說明理由.
(3)是否存在某一時(shí)刻t,使P、Q、F三點(diǎn)在同一條直線上?若存在,求出此時(shí)t的值;若不存在,說明理由.
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