Question

9．如圖，邊長(zhǎng)為8的等邊△ABC，AD⊥BC于D，點(diǎn)E是線段AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，CF=CE，∠ECF=60°，則線段DF長(zhǎng)的取值范圍是4≤DF≤4$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 如圖1，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到DF=CD=$\frac{1}{2}$BC=4；如圖2，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，由已知條件得到△CEF是等邊三角形，求得∠CEF=60°，AF=AC=8，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠DAC=30°，AD=4$\sqrt{3}$，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：如圖1，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，
∵CF=CE，∠ECF=60°，
∴點(diǎn)F在線段AC上，
∴△CDF是等邊三角形，
∴DF=CD=$\frac{1}{2}$BC=4；
如圖2，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，
∵CF=CE，∠ECF=60°，
∴△CEF是等邊三角形，
∴∠CEF=60°，AF=AC=8，
∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，
∵∠DAC=30°，AD=4$\sqrt{3}$，
∴∠DAF=90°，
∴DF=$\sqrt{A{D}^{2}+A{F}^{2}}$=4$\sqrt{7}$，
∴線段DF長(zhǎng)的取值范圍是4≤DF≤4$\sqrt{7}$，
故答案為：4≤DF≤4$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟記等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．