Question

如圖．在矩形ABCD中，AB=4，AD=6．把一塊三角板的直角頂點(diǎn)記作P．把點(diǎn)P放在BC邊上，上下移動(dòng)，一條直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)A，另一條直角邊所在的直線與直線DC、AB分別交于點(diǎn)E、F
（1）寫出圖中所有與△APB相似的三角形；
（2）當(dāng)△PEC與△APB的面積比為4：9時(shí)，求PB的長．

Answer 1

分析：（1）利用互余易得到△APB、△PBF、△AFP、△PEC中兩組角對應(yīng)相等，根據(jù)三角形相似的判定即可得到答案；
（2）根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方易得PC²：AB²=4：9，則PC：AB=2：3，可求出PC，由PB=BC-PC得到PB．

解答：解：（1）與△APB相似的三角形有：△PBF，△AFP，△PEC；

（2）∵Rt△PEC∽Rt△APB，△PEC與△APB的面積比為4：9，
∴PC²：AB²=4：9，
∴PC：AB=2：3，
而AB=4，
∴PC=

8

3

，
∵BC=AD=6，
∴PB=6-

8

3

=

10

3

．

點(diǎn)評：本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：兩組角對應(yīng)相等的兩三角形相似；相似三角形面積的比等于相似比的平方．也考查了矩形的性質(zhì)．