Question

如圖，直線AB的解析式為y=2x+4，交x軸于點A，交y軸于點B，以A為頂點的拋物線交直線AB于點D，交y軸負半軸于點C（0，-4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）將拋物線頂點沿著直線AB平移，此時頂點記為E，與y軸的交點記為F，
①求當△BEF與△BAO相似時，E點坐標；
②記平移后拋物線與AB另一個交點為G，則S_△EFG與S_△ACD是否存在8倍的關系？若有請直接寫出F點的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）求出點A的坐標，利用頂點式求出拋物線的解析式；
（2）①首先確定點E為Rt△BEF的直角頂點，相似關系為：△BAO∽△BFE；如答圖2-1，作輔助線，利用相似關系得到關系式：BH=4FH，利用此關系式求出點E的坐標；
②首先求出△ACD的面積：S_△ACD=8；若S_△EFG與S_△ACD存在8倍的關系，則S_△EFG=64或S_△EFG=1；如答圖2-2所示，求出S_△EFG的表達式，進而求出點F的坐標．

解答：解：（1）直線AB的解析式為y=2x+4，
令x=0，得y=4；令y=0，得x=-2．
∴A（-2，0）、B（0，4）．
∵拋物線的頂點為點A（-2，0），
∴設拋物線的解析式為：y=a（x+2）²，
點C（0，-4）在拋物線上，代入上式得：-4=4a，解得a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-（x+2）²．

（2）平移過程中，設點E的坐標為（m，2m+4），
則平移后拋物線的解析式為：y=-（x-m）²+2m+4，
∴F（0，-m²+2m+4）．
①∵點E為頂點，∴∠BEF≥90°，
∴若△BEF與△BAO相似，只能是點E作為直角頂點，
∴△BAO∽△BFE，
∴

OA

EF

=

OB

BE

，即

2

EF

=

4

BE

，可得：BE=2EF．
如答圖2-1，過點E作EH⊥y軸于點H，則點H坐標為：H（0，2m+4）．

∵B（0，4），H（0，2m+4），F(xiàn)（0，-m²+2m+4），
∴BH=|2m|，F(xiàn)H=|-m²|．
在Rt△BEF中，由射影定理得：BE²=BH•BF，EF²=FH•BF，
又∵BE=2EF，∴BH=4FH，
即：4|-m²|=|2m|．
若-4m²=2m，解得m=-

1

2

或m=0（與點B重合，舍去）；
若-4m²=-2m，解得m=

1

2

或m=0（與點B重合，舍去），此時點E位于第一象限，∠BEF為鈍角，故此情形不成立．
∴m=-

1

2

，
∴E（-

1

2

，3）．
②假設存在．
聯(lián)立拋物線：y=-（x+2）²與直線AB：y=2x+4，可求得：D（-4，-4），
∴S_△ACD=

1

2

×4×4=8．
∵S_△EFG與S_△ACD存在8倍的關系，
∴S_△EFG=64或S_△EFG=1．
聯(lián)立平移拋物線：y=-（x-m）²+2m+4與直線AB：y=2x+4，可求得：G（m-2，2m）．
∴點E與點G橫坐標相差2，即：|x_G|-|x_E|=2．

當頂點E在y軸左側時，如答圖2-2，S_△EFG=S_△BFG-S_△BEF=

1

2

BF•|x_G|-

1

2

BF|x_E|=

1

2

BF•（|x_G|-|x_E|）=BF．
∵B（0，4），F(xiàn)（0，-m²+2m+4），∴BF=|-m²+2m|．
∴|-m²+2m|=64或|-m²+2m|=1，
∴-m²+2m可取值為：64、-64、1、-1．
當取值為64時，一元二次方程-m²+2m=64無解，故-m²+2m≠64．
∴-m²+2m可取值為：-64、1、-1．
∵F（0，-m²+2m+4），
∴F坐標為：（0，-60）、（0，3）、（0，5）．
同理，當頂點E在y軸右側時，點F為（0，5）；
綜上所述，S_△EFG與S_△ACD存在8倍的關系，點F坐標為（0，-60）、（0，3）、（0，5）．

點評：本題是二次函數(shù)壓軸題，涉及運動型與存在型問題，難度較大．第（2）①問中，解題關鍵是確定點E為直角頂點，且BE=2EF；第（2）②問中，注意將代數(shù)式表示圖形面積的方法、注意求坐標過程中方程思想與整體思想的應用．