Question

18．如圖．在△ABC中．AB=AC=9，BC=12，∠B=∠C，點D從B出發(fā)以每秒2厘米的速度在線BC上從B向C方向運動，點E同時從C出發(fā)以每秒2厘米的速度在線段AC上從C向A運動，連接AD、DE；
（1）運動3秒時，AE=$\frac{1}{2}$DC（不必說明理由）；
（2）運動多少秒時，∠ADE=∠B，并請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)運動的時間是t秒，則CD=12-2t，AE=9-2t，得出方程9-2t=$\frac{1}{2}$（12-2t），求出方程的解即可；
（2）求出∠B=∠C=∠ADE，推出∠BAD=∠EDC，根據(jù)AAS證△ABD≌△DCE，推出DC=AB=9即可．

解答 解：（1）設(shè)運動的時間是t秒，
則CD=12-2t，AE=9-2t，
9-2t=$\frac{1}{2}$（12-2t）
t=3，
故答案為：3．

（2）設(shè)x秒后，∠ADE=∠B，
∵∠B=∠C=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠B=∠C=∠ADE，
∵∠BAD+∠ADB+∠B=180°，∠EDC+∠ADE+∠ADB=180°，
∴∠BAD=∠EDC，
在△ABD和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠BAD=∠CDE}\\{BD=CE}\end{array}\right.$
∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴DC=AB=9，
∴BD=3，
∴x=$\frac{3}{2}$，
即運動$\frac{3}{2}$秒時，∠ADE=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵AB=AC=9cm，
∴∠B=∠C=$\frac{180°-∠BAC}{2}$，
即∠B=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠ADE=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠ADE=∠B．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，利用了三角形內(nèi)角和定理，得出方程是解題關(guān)鍵．