Question

3．如圖．AC是⊙O的直徑，點(diǎn)B在⊙O上，∠ACB=30°．作∠ABC的平分線BD，交AC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，連接CD，求△ABE與△CDE的面積之比．

Answer 1

分析 連接AD，設(shè)AB=x，解直角三角形求出AC，DC，根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方求出即可．

解答 解：連接AD，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∴∠ACD=∠ABD=45°，∠CAD=∠CBD=45°，
∴∠CAD=∠ACD=45°，
∴AD=DC，
設(shè)AB=x，
∵在Rt△ABC中，∠BCA=30°，AB=x，
∴AC=2AB=2x，AD=CD=AC×sin45°=2x•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$x，
∵∠BAE=∠CDE，∠ABE=∠DCE，
∴△ABE∽△CDE，
∴$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{△CDE}}$=（$\frac{AB}{CD}$）²=（$\frac{x}{\sqrt{2}x}$）²=$\frac{1}{2}$，
△ABE與△CDE的面積之比為1：2．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，能求出△ABE∽△CDE是解此題的關(guān)鍵，注意：相似三角形的面積之比等于相似比的平方．