Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（5，4），⊙M與y軸相切于點(diǎn)C，與x軸相交于A、B兩點(diǎn)．

（1）則點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是A（__，__），B（__，__），C（__，__）；

（2）設(shè)經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的拋物線解析式為，它的頂點(diǎn)為F，求證：直線FA與⊙M相切；

（3）在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P，且點(diǎn)P在x軸的上方，使△PBC是等腰三角形．如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（2，0），B（8，0），C（0，4）；（2）證明見試題解析；（3）P（5，4），或（5，），或（5，）．

【解析】

（1）連接MC，則MC垂直于y軸，MA=MC=5，MD=4，由勾股定理可計(jì)算AD和DB；

（2）把A、或B或C的坐標(biāo)代入y=，確定二次函數(shù)表達(dá)式y=，連接MA，根據(jù)勾股定理計(jì)算AF，由勾股定理逆定理判斷MA⊥AF，從而說明FA是切線；

（3）設(shè)P（x，4），當(dāng)C為頂點(diǎn)時(shí)，在Rt△CMP1中用x表示CP1，根據(jù)列方程求解；當(dāng)B為頂點(diǎn)時(shí)，在Rt△BDP2中用x表示CP2，根據(jù)列方程求解；當(dāng)P是頂點(diǎn)時(shí)，易知P和M重合．

解：（1）連接MC，則MC垂直于y軸，MA=MC=5，MD=4，在Rt△AMD中，AD==3，同理在Rt△BMD中，BD=3

∴A（2，0），B（8，0），C（0，4）；

（2）把A（2，0）y=，解得k=-

∴y=，∴F（5，-）

連接MA，則MF=4+=，AF==

∴

∴MA⊥AF

∴FA與⊙M相切；

（3）設(shè)P（x，4），

當(dāng)C為頂點(diǎn)時(shí)，在Rt△CMP1中，

∴，x=

點(diǎn)P在x軸上方，故x=，所以（，4）；

當(dāng)B為頂點(diǎn)時(shí)，在Rt△BDP2中，

∴，x=，點(diǎn)P在x軸上方

故x=，所以（，4）；

當(dāng)P是頂點(diǎn)時(shí)，P和M重合，P3（5，4）．

綜上當(dāng)P（，4）、（，4）或（5，4）時(shí)△PBC是等腰三角形．