Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，E是內(nèi)心，AE的延長線交△ABC的外接圓于D．求證：
（1）BE=AE；
（2）

AB

AC

=

AE

ED

．

Answer 1

考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)E是內(nèi)心，可得出∠CAD=∠BAD，進而得出∠CAB=∠CBA，則∠CAD=∠BAD=∠CBE=∠EBA，即可得出答案；
（2）根據(jù)題意得出△ABC∽△EBD，進而求出即可．

解答：證明：（1）∵E是內(nèi)心，∴∠CAD=∠BAD，∠CBE=∠EBA，
∵AC=BC
∴∠CAB=∠CBA，
∴∠CAD=∠BAD=∠CBE=∠EBA，
∴BE=AE，

（2）∵∠CAD=∠BAD=∠CBE=∠EBA，∠DAB+∠EBA=∠DEB，
∴∠CAB=∠DEB，
∵∠C=∠D，
∴∠CBA=∠DBE，
∴∠CAB=∠CBA=∠DEB=∠DBE
∴△ABC∽△EBD，
∴

AB

AC

=

BE

DE

，
∴

AB

AC

=

AE

ED

．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)心、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)，得出△ABC∽△EBD是解題關(guān)鍵．