Question

在?ABCD中，∠BCD和∠ADC的平分線分別交AB于M，N兩點，CN，DM交于點O．
（1）求證：AM=BN；
（2）若AB=8，BC=6，求OM²+ON²的值．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）由在?ABCD中，∠BCD和∠ADC的平分線分別交AB于M，N兩點，易證得△ADM與△BCN是等腰三角形，繼而證得結(jié)論；
（2）首先由在?ABCD中，∠BCD和∠ADC的平分線分別交AB于M，N兩點，CN，易求得△COD與△MON是直角三角形，然后由勾股定理求得OM²+ON²的值．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AD=BC，
∴∠CDM=∠AMD，∠DCN=∠BNC，
∵∠BCD和∠ADC的平分線分別交AB于M，N兩點，
∴∠ADM=∠CDM，∠BCN=∠DCN，
∴∠ADM=∠AMD，∠BCN=∠BNC，
∴AD=AM，BC=BN，
∴AM=BN；

（2）解：∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵在?ABCD中，∠BCD和∠ADC的平分線分別交AB于M，N兩點，
∴∠CDM=

1

2

∠ADC，∠DCN=

1

2

∠BCD，
∴∠CDM+∠DCN=

1

2

（∠ADC+∠BCD）=90°，
∴∠MON=∠COD=90°，
∵AB=8，BC=6，
∴AM=BN=BC=6，
∴MN=AM+BN-AB=6+6-8=4，
∴OM²+ON²=MN²=16．

點評：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．