Question

14．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P（a，b），若點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（ka+b，kb+a）（k為常數(shù)，k≠0），則稱點(diǎn)P′和點(diǎn)P的“k交融點(diǎn)”，例如：P（1，4）的“2的交融點(diǎn)”為P′（2×1+4，2×4+1），即P′（6，9）
（1）①點(diǎn)P（-1，-2）的“2的交融點(diǎn)”P′的坐標(biāo)為（-4，-5）
②若點(diǎn)P的“3的交融點(diǎn)”為P′（3，3），求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（2）若點(diǎn)P在x軸的正半軸上，點(diǎn)P的“k交融點(diǎn)”為P′點(diǎn)，且△OPP′為等腰三角形，則k的值為$\frac{1}{2}$或1
（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，4$\sqrt{3}$），點(diǎn)A在函數(shù)y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x的圖象上，且點(diǎn)A是點(diǎn)B的“$\sqrt{3}$交融點(diǎn)”，當(dāng)線段BQ最短時(shí)，求B點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）依據(jù)“交融點(diǎn)”的定義直接進(jìn)行計(jì)算即可；②設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），然后依據(jù)“交融點(diǎn)”的定義得到關(guān)于x、y的方程，從而可求得x、y的值；
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），則P′（mk，m）且m＞0，分為OP=OP′、OP′=P′P、OP=P′P三種情況，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式列方程求解即可；
（3）設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，y），A（a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），依據(jù)“交融點(diǎn)”的定義得到關(guān)于x、y的方程然后消去參數(shù)a的y與x的函數(shù)關(guān)系式，依據(jù)垂線段最短的性質(zhì)可知：當(dāng)QB⊥直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x時(shí)，QB有最小值，然后求得BQ的解析式，最后求得兩一次函數(shù)的交點(diǎn)從而可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)．

解答 解：（1）①∵-1×2+（-2）=-4，-2×2+（-1）=-5，
∴P′的坐標(biāo)為（-4，-5）．
故答案為：（-4，-5）．
②設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），
由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{3x+y=3}\\{3y+x=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{4}}\\{y=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$）．
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），則P′（mk，m）．
∵點(diǎn)P在x軸的正半軸上，
∴m＞0．
當(dāng)OP=OP′時(shí)，由兩點(diǎn)間的距離公式可知：m²=m²k²+m²，
解得：k=0（舍去）．
當(dāng)OP′=P′P時(shí)，由兩點(diǎn)間的距離公式可知：m²k²+m²=（mk-m）²+m²．
解得；k=$\frac{1}{2}$．
當(dāng)OP=P′P時(shí)，由兩點(diǎn)間的距離公式可知：m²=（mk-m）²+m²．
解得：k=1．
綜上所述，k的值為$\frac{1}{2}$或1．
故答案為：$\frac{1}{2}$或1．
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，y），A（a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a）．
∵點(diǎn)A是點(diǎn)B的“$\sqrt{3}$交融點(diǎn)”，
∴$\sqrt{3}$x+y=a，$\sqrt{3}$y+x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．
∴$\sqrt{3}$y+x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（$\sqrt{3}$x+y），整理得：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
∴點(diǎn)B在直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x上．
如圖所示：過(guò)點(diǎn)Q作QB⊥直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，垂足為B．

∵QB⊥OB，
∴QB的解析式為y=-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$．
將y=-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$與y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\end{array}\right.$，解得：x=3，y=$\sqrt{3}$
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了“交融點(diǎn)”的定義、兩點(diǎn)間的距離公式、垂線段最短的性質(zhì)、一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)等知識(shí)點(diǎn)，求得點(diǎn)B所在直線的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．