7.如圖,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC,B(3,5),拋物線y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c交x軸于點(diǎn)C,D兩點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn)B.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)F,使得△ACF的面積等于5,若存在,求出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,說明理由;
(3)點(diǎn)M(4,k)在拋物線上,連接CM,求出在坐標(biāo)軸的點(diǎn)P,使得△PCM是以∠PCM為頂角以CM為腰的等腰三角形,請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo).

分析 (1)利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;
(2)利用△ACF的面積等于5直接建立方程求出F點(diǎn)的縱坐標(biāo),代入拋物線解析式解方程即可;
(3)先求出CM=3$\sqrt{5}$,再分點(diǎn)P在x軸和y軸上,用CM=CP求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

解答 (1)∵B(3,5),
∴OA=3,AB=5;

∵AB=AC,
∴OC=AC-OA=5-3=2,
即點(diǎn)C的坐標(biāo)是(-2,0),
∵點(diǎn)C(-2,0)和點(diǎn)B(3,5)在拋物線y=-$\frac{1}{2}$x2+bx+c上
∴將其代入得$\left\{\begin{array}{l}{0=-2-2b+c}\\{5=\frac{9}{2}a+3b+c}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{3}{2}}\\{c=5}\end{array}\right.$,
∴拋物線的表達(dá)式是y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+5,
(2)假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)F使得S△ACF=5,則設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)是(a,b)
∵$\frac{1}{2}$AC|b|=5,
∴$\frac{1}{2}$×5|b|=5,
解得b=±2,
將F(a,2)和F(a,-2)分別代入y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+5中得
-$\frac{1}{2}$a2+$\frac{3}{2}$a+5=2,-$\frac{1}{2}$a2+$\frac{3}{2}$a+5=-2
解得a1=$\frac{3+\sqrt{33}}{2}$ a2=$\frac{3-\sqrt{33}}{2}$ a3=$\frac{3+\sqrt{65}}{2}$ a4=$\frac{3-\sqrt{65}}{2}$
所以符合條件的點(diǎn)F有四個(gè),它們分別是F1($\frac{3+\sqrt{33}}{2}$,2),F(xiàn)2($\frac{3-\sqrt{33}}{2}$,2),F(xiàn)3($\frac{3+\sqrt{65}}{2}$,-2)F4($\frac{3-\sqrt{65}}{2}$,-2),
(3)點(diǎn)M(4,k)在拋物線y=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+5的圖象上,
∴k=3,
∴M(4,3),
∵C(-2,0),
∴CM=3$\sqrt{5}$
①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí),設(shè)P(p,0),
∴CP=|p+2|,
∵△PCM是以∠PCM為頂角以CM為腰的等腰三角形.
∴CM=CP,
∴|p+2|=3$\sqrt{5}$,
∴p=-2±3$\sqrt{5}$,
∴P1(-3$\sqrt{5}$-2,0)P2 (3$\sqrt{5}$-2,0),
②當(dāng)點(diǎn)P在y軸上時(shí),設(shè)P(0,h),
∴PC=$\sqrt{{h}^{2}+4}$=3$\sqrt{5}$,
∴h=±$\sqrt{41}$,
∴P3(0,$\sqrt{41}$)    P4(0,-$\sqrt{41}$).
符合條件的P點(diǎn)有四個(gè),它們分別是P1(-3$\sqrt{5}$-2,0)P2 (3$\sqrt{5}$-2,0),P3(0,$\sqrt{41}$)    P4(0,-$\sqrt{41}$).

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)綜合題,主要考查了待定系數(shù)法,三角形的面積公式,等腰三角形的性質(zhì),解本題的關(guān)鍵是確定出拋物線的解析式,難點(diǎn)是分類討論得出點(diǎn)P的坐標(biāo).

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