Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，O是AB上一點(diǎn)，以OA為半徑的⊙O與BC相交于點(diǎn)D，與AB交于點(diǎn)E，AD平分∠FAB，連接ED并延長(zhǎng)交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

（1）求證：BC為⊙O的切線.

（2）求證：AE=AF；

（3）若DE=3，sin∠BDE=，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）AC= 8.

【解析】

（1）連接OD.證明OD⊥CB即可.

（2）根據(jù)切線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答即可；

（3）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)解答即可．

（1）證明：連接OD.

∵AD平分∠FAB

∴∠CAD=∠DAB

在⊙O中，OA=OD

∠DAB=∠ODA

∴∠CAD=∠ODA

∴AC∥OD

∴∠ODB=∠ACB=900

∴OD⊥CB

∴CB為⊙O的切線

（2）證明∵ OD=OE，

∴∠ODE=∠OED．

∵直線BC為⊙O的切線，

∴OD⊥BC．

∴∠ODB=90°．

∵∠ACB=90°，

∴OD∥AC ．

∴∠ODE=∠F．

∴∠OED=∠F．

∴AE=AF．

（3）∵AE是⊙O的直徑

∴∠ADE=90°．

∵AE=AF，

∴DF=DE=3.

∵∠ACB=90°．

∴∠DAF+∠F=90°，∠CDF+∠F=90°，

∴∠DAF=∠CDF=∠BDE．

在Rt△ADF中，

，

∴．

在Rt△CDF中，

，

∴．

∴AC=AF-CF=8.