Question

如圖，半圓O為△ABC的外接圓，AC為直徑，D為劣弧BC上一動點，P在CB延長線上，且滿足∠BAP=∠BDA，
（1）求證：AP為⊙O切線；
（2）若四邊形ABDO為菱形，求證：BD²=BE•BC．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為∠BDA和∠BCA為同弧所對的圓周角，所以相等，又AC為直徑，所以∠ABC=90°，即∠ACB+∠BAC=90°，又∠BAP=∠BDA，所以∠BAP+∠BAC=90°，即AP為切線．
（2）證BD²=BE•BC，即，而若四邊形ABDO為菱形，那么AB=BD，所以有，即證△ABC∽△ABE即可，
解答：解：（1）∵∠BDA和∠BCA為同弧所對的圓周角，
∴∠BDA=∠BCA．
又AC為直徑，
∴∠ABC=90°．
即∠ACB+∠BAC=90°．
又∠BAP=∠BDA，
∴∠BAP+∠BAC=90°．
即AP為切線．

（2）∵四邊形ABDO為菱形，
∴AB=BD．
∴∠BAD=∠BDA．
又∵∠BDA和∠BCA為同弧所對圓周角，
∴∠BDA=∠BCA．
∴∠BAD=∠BDA=∠BCA．
∵∠ABC=∠EBA，
∴△ABC∽△EBA．
∴．
∵AB=BD．
∴．
即BD²=BE•BC．
點評：此題綜合考查了切線的判定以及相似三角形的判定方法的運用．