Question

【題目】已知：在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足為點F，BF與AC交于點C，∠BGE=∠ADE．

（1）如圖1，求證：AD=CD；

（2）如圖2，BH是△ABE的中線，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中四個三角形，使寫出的每個三角形的面積都等于△ADE面積的2倍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．

【解析】（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根據(jù)∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得；

（2）設DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，據(jù)此知S△ADC=2a2=2S△ADE，證△ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分別求出S△ABE、S△ACE、S△BHG，從而得出答案．

（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF，

∴∠ADE=∠CGF，

∵AC⊥BD、BF⊥CD，

∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，

∴∠DAE=∠GCF，

∴AD=CD；

（2）設DE=a，

則AE=2DE=2a，EG=DE=a，

∴S△ADE=AE×DE=×2a×a=a2，

∵BH是△ABE的中線，

∴AH=HE=a，

∵AD=CD、AC⊥BD，

∴CE=AE=2a，

則S△ADC=ACDE=（2a+2a）a=2a2=2S△ADE；

在△ADE和△BGE中，

∵，

∴△ADE≌△BGE（ASA），

∴BE=AE=2a，

∴S△ABE=AEBE=（2a）2a=2a2，

S△ACE=CEBE=（2a）2a=2a2，

S△BHG=HGBE=（a+a）2a=2a2，

綜上，面積等于△ADE面積的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．