Question

7．如圖，在三角形ABC中，點(diǎn)O是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E，交∠ACD的平分線于點(diǎn)F．
（1）求證：OE=OF；
（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF會(huì)變成矩形？并證明你的結(jié)論；
（3）若AC邊上存在點(diǎn)O，使四邊形AECF是正方形，AB與EC相交于點(diǎn)P，與EF相交于點(diǎn)D，若BC=2，AE=$\sqrt{6}$，求BP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）直接利用平行線的性質(zhì)結(jié)合結(jié)合角平分線的性質(zhì)得出∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，即可得出EO=CO，F(xiàn)O=CO求出答案即可；
（2）利用已知得出AO+CO=EO+FO，即AC=EF，進(jìn)而利用矩形的判定方法得出答案；
（3）利用正方形的性質(zhì)得出∠ACB=90°，OE∥BC，進(jìn)而得出△BPC∽△DAF，△BPC∽△DAF，再利用相似三角形的性質(zhì)得出答案．

解答 證明：（1）∵M(jìn)N∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，F(xiàn)O=CO，
∴EO=FO；

（2）解：當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形．
∵當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，AO=CO，
又∵EO=FO，∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵FO=CO，∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四邊形AECF是矩形．

（3）解：如備用圖：設(shè)AB與EF交于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作PQ⊥BC于點(diǎn)Q，
當(dāng)四邊形AECF是正方形時(shí)，
∵AE=EC=AF=$\sqrt{6}$，∠AEC=∠ECF=90°，∠AOC=90°，AO=OC，
∴∠ACE=∠BCE=∠AFE=45°，AC=$\sqrt{6+6}=2\sqrt{3}$，
∴∠ACB=90°，OE∥BC，
∴∠ADO=∠ABC，
∴△BPC∽△DAF
而BC=2，
∴tan∠B=$\frac{AC}{BC}=\frac{{2\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$，
∴∠B=60°，∠BAC=30°，
∴AB=2BC=4，AD=$\frac{1}{2}$AB=2
設(shè)BQ=x，則，BP=2x，CQ=PQ=2-x，
而△BPC∽△DAF，$\frac{PC}{PB}=\frac{AF}{AD}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
∴PC=$\sqrt{6}$x，
在Rt△PQC中，PQ²+CQ²=PC²，
得$2（2-x{）^2}={（\sqrt{6}x）^2}$，
解得${x_1}=\sqrt{3}-1，{x_2}=-\sqrt{3}-1$（不合題意，舍去）
∴BP=2BQ=$2\sqrt{3}-2$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了四邊形綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)和矩形的判定以及正方形的性質(zhì)等知識(shí)，正確掌握矩形的判定與正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．