Question

9．已知：在△ABC中，AD是∠A的平分線，△ABC的內(nèi)心為I，求證：AI：ID=（AB+AC）：BC．

Answer 1

分析 連結(jié)CI，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，由AD是∠A的平分線得到$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$，再利用比例的性質(zhì)得$\frac{AB+AC}{BC}$=$\frac{AC}{CD}$，接著根據(jù)三角形內(nèi)心性質(zhì)得到CI平分∠ACD，則利用角平分線的性質(zhì)定理得到$\frac{AC}{CD}$=$\frac{AI}{ID}$，然后根據(jù)等量代換得到結(jié)論．

解答 證明：連結(jié)CI，如圖，
∵AD是∠A的平分線，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{CD}$，
∴$\frac{AB+AC}{AC}$=$\frac{BD+CD}{CD}$=$\frac{BC}{CD}$，
∴$\frac{AB+AC}{BC}$=$\frac{AC}{CD}$，
∵△ABC的內(nèi)心為I，
∴CI平分∠ACD，
∴$\frac{AC}{CD}$=$\frac{AI}{ID}$，
∴$\frac{AI}{ID}$=$\frac{AB+AC}{BC}$．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三角形頂點的連線平分這個內(nèi)角．熟練掌握角平分線的性質(zhì)和比例的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．