Question

【題目】把兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角邊長(zhǎng)均為4）疊放在一起（如圖①），且使三角板EFG的直角頂點(diǎn)G與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合．現(xiàn)將三角板EFG繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角α滿足條件：0°＜α＜90°），四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分（如圖②）．

（1）在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；

（2）連接HK，在上述旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)BH=x，△GKH的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面積恰好等于△ABC面積的？若存在，求出此時(shí)x的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)、BH=CK；四邊形CHGK的面積不變；證明過程見解析；(2)、y=-2x+4(0＜x＜4)；(3)、x=1或x=3.

【解析】

試題（1）連接CG，根據(jù)中線的性質(zhì)得出CG=BG，CG⊥AB，根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)得出△BGH和△CGK全等，將四邊形的面積轉(zhuǎn)化成△CHG的面積+△CGK的面積，根據(jù)全等得出△CHG的面積+△BGH的面積，即△ABC面積的一半；（2）連接HK，則BK=CK=x，CH=4－x，根據(jù)△GHK的面積=四邊形CHGK的面積-△CHK的面積求出函數(shù)關(guān)系式；（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論列出一元二次方程，然后求出x的值．

試題解析：（1）在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH=CK，四邊形CHGK的面積不變。

證明：連接CG，

∵△ABC為等腰直角三角形，O（G）為其斜邊中點(diǎn)，∴CG=BG，CG⊥AB，

∴∠ACG=∠B=45°，∵∠BGH與∠CGK均為旋轉(zhuǎn)角，∴∠BGH=∠CGK，

在△BGH與△CGK中，∠B=∠KCG,BG=CG, ∠BCG=∠CGK

∴△BGH≌△CGK（ASA）， ∴BH=CK，△BGH的面積=△CGK的面積．

∴四邊形CHGK的面積=△CHG的面積+△CGK的面積=的面積△CHG+△BGH的面積=S△ABC=××4×4=4

即：四邊形CHGK的面積為4，是一個(gè)定值，在旋轉(zhuǎn)過程中沒有變化；

（2）∵AC=BC=4，BK=x，∴CH=4-x，CK=x，連接HK．

由△GHK的面積=四邊形CHGK的面積-△CHK的面積，得y=4-x（4-x）=-2x+4 由0°＜α＜90°，得到BH最大=BC=4，∴0＜x＜4；

（3）存在．根據(jù)題意，得-2x+4=×8 解這個(gè)方程，得=1，=3，

即：當(dāng)x=1或x=3時(shí)，△GHK的面積均等于△ABC的面積的。