Question

【題目】如圖1，在菱形ABCD中，E是CD上的一點(diǎn)，連接BE交AC于O，連接DO并延長交BC于E．

（1）求證：△FOC≌△EOC;
（2）將此圖中的AD、BE分別延長交于點(diǎn)N，作EM∥BC交CN于M，再連接FM即得到圖2．
求證：①；②FD=FM．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴BC=CD，∠BCA=∠DCA，BC∥AD，

在△BCO和△DCO中，

，

∴△BCO≌△DCO（SAS），

∴∠CBO=∠CDO，

在△BEC和△DFC中，

，

∴△BEC≌△DFC（ASA），

∴EC=FC，

在△FOC和△EOC中，

，

∴△FOC≌△EOC（SAS）

（2）

如圖2所示，

∵EM∥BC，BC∥AD，

∴EM∥BC∥AD

∴，，

∴，

∵CE=CF，CD=CB

∴，

∴；

∵

∴FM∥BN

∵EM∥BC

∴四邊形FMEB為平行四邊形

∴FM=BE

∵BE=DF

∴FD=FM．

【解析】（1）可以通過多組三角形全等證得，先根據(jù)SAS證明△BCO≌△DCO，得到∠CBO=∠CDO，然后根據(jù)ASA證明△BEC≌△DFC，進(jìn)而可得CF=CE，然后根據(jù)SAS即可證明△FOC≌△EOC；
（2）利用EM∥BC來轉(zhuǎn)化比：，由BC∥AD，可得EM∥AD，可得，進(jìn)而可得：，再利用CE=CF，CD=CB，即可得證；
由，得到FM∥BN，再利用EM∥BC，得到四邊形FMEB為平行四邊形，從而FM=BE=FD．
【考點(diǎn)精析】利用相似三角形的判定與性質(zhì)和相似三角形的應(yīng)用對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方；測高：測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解．