Question

已知，如圖，拋物線y=x²+px+q與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA≠OB，OA=OC，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)P，直線PC與x軸的交點(diǎn)D恰好與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱．
（1）求p、q的值．
（2）在題中的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得四邊形PAQD恰好為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）連接PA、AC．問：在直線PC上，是否存在這樣點(diǎn)E（不與點(diǎn)C重合），使得以P、A、E為頂點(diǎn)的三角形與△PAC相似？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出點(diǎn)C、D和A的坐標(biāo)，后根據(jù)直線PC與x軸的交點(diǎn)D恰好與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱列方程組求解；
（2）假設(shè)存在這樣的Q點(diǎn)，再通過求解四邊形PAQD的邊AQ和PD的關(guān)系說明假設(shè)不成立；
（3）先假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)E，先求出直線AE的解析式，E點(diǎn)即是AE和CD的交點(diǎn)，最后證明△PAE與△PAC相似．

解答：解：（1）在拋物線y=x²+px+q中，
當(dāng)x=0時(shí)，y=q．即：C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，q）．
因?yàn)椋篛A=OC，D點(diǎn)與A點(diǎn)關(guān)于y軸對稱．
所以：A點(diǎn)的坐標(biāo)為（q，0）；D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-q，0）．
將A（q，0）代入y=x²+px+q中得：0=q²+pq+q
即：q（q+p+1）=0
所以：q=0，（不符合題意，舍去．）
      q+p=-1   ①
現(xiàn)在求點(diǎn)P的坐標(biāo)，即拋物線y=x²+px+q頂點(diǎn)的坐標(biāo)：
橫坐標(biāo)：-

p

2

；縱坐標(biāo)：

4q-p2

4

，
設(shè)直線CD的方程為y=kx+b
因?yàn)橹本�CD過C（0，q）、D（-q，0）兩點(diǎn)，所以有方程組
q=b，0=-qk+b．
解得：k=1，b=q．
所以直線CD的解析式為：y=x+q．
因?yàn)辄c(diǎn)P在直線CD上，
所以

4q-p2

4

=-

p

2

+q
解得：p=0（不符合題意，舍去）
       p=2   ②
又已經(jīng)求得的①、②兩等式得：p=2，q=-3．
因此；p、q的值分別為 2和-3．

 （2）∵p=2，q=-3．
∴拋物線的解析式為y=x²+2x-3，
A、D、C、P四點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-3，0）、（3，0）、（0，-3）、（-1，-4）．
直線CD的方程式為y=x-3，
設(shè)：過A點(diǎn)與直線CD平行的直線AQ的方程為：
        y=x+b（因兩直線平行，所以一次項(xiàng)系數(shù)相等）
因?yàn)辄c(diǎn)A（-3，0）在直線AQ上，將其代入y=x+b中得：0=-3+b，解得：b=3
所以：直線AQ的方程為：y=x+3
下面求直線AQ（y=x+3）與拋物線y=x²+2x-3的交點(diǎn)Q的坐標(biāo)：
 解方程組y=x²+2x-3，y=x+3．得x₁=2，y₁=5；x₂=-3，y₂=0．
即：兩交點(diǎn)為A（-3，0）；Q（2，5）．
下面再求A、Q兩點(diǎn)距離和P、D兩點(diǎn)距離：從圖形可知
|AQ|=5

2

，|PD|=4

2

，
所以|AQ|≠|(zhì)PD|
這說明AQ與PD不相等，所以在拋物線上不存在滿足四邊形APDQ是平行四邊形的Q點(diǎn)．

 （3）存在E點(diǎn)，且E點(diǎn)坐標(biāo)為（9，6）．
具體求解過程如下：
設(shè)E點(diǎn)是直線PC上的點(diǎn)，且滿足AE垂直AP
求直線AP的方程，設(shè)直線AP的方程為y=kx+b
因?yàn)锳（-3，0），P（-1，-4）兩點(diǎn)在直線AP上，所以有方程組
  0=-3k+b，-4=-k+b．解得：k=-2，b=-6．
所以直線AP的方程式為：y=-2x-6
因?yàn)橹本�AE垂直直線AC，所以兩直線一次項(xiàng)系數(shù)之積等于-1
所以，設(shè)直線AE方程式為y=

1

2

x+b
A（-3，0）點(diǎn)在直線AE上，所以b=

3

2

，
所以直線AE的方程式為y=

1

2

x+

3

2

，
直線AE與直線CD相交于E點(diǎn)，解兩直線方程組成的方程組得：x=9，y=6．
即E點(diǎn)的坐標(biāo)為（9，6）．
在三角形ACD中，因?yàn)镺A=OD=OC，AD垂直CO，
所以∠ACD是直角，
在直角三角形APE中，AC是斜邊PE上的高，
所以△APC∽△EPA．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的知識，難度較大，注意各部分知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用．