Question

如圖，拋物線y=ax²+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-4，0）、B（-2，2），連接OB、AB，
（1）求該拋物線的解析式．
（2）求證：△OAB是等腰直角三角形．
（3）將△OAB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)135°，得到△OA′B′，寫(xiě)出A′B′的中點(diǎn)P的坐標(biāo)，試判斷點(diǎn)P是否在此拋物線上．
（4）在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)M，使得四邊形ABOM成直角梯形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M坐標(biāo)及該直角梯形的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）解：由A（-4，0）、B（-2，2）在拋物線y=ax²+bx圖象上，
得：
解之得：a=-，b=-2，
∴該函數(shù)解析式為：y=-x²-2x．

（2）證明：過(guò)點(diǎn)B作BC垂直于X軸，垂足是點(diǎn)C．
∵y=-x²-2x=-（x+2）²+2，
∴線段CO、CA、CB的長(zhǎng)度均為2，
∴△ABC和△OBC為全等的等腰直角三角形，
∴AB=OB
且∠ABO=∠ABC+∠OBC=90°
∴△OAB是等腰直角三角形

（3）解：如圖，將△OAB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)135°，得到△OA′B′
其中點(diǎn)B′正好落在y軸上且B′A′∥x軸．
又∵OB′和A′B′的長(zhǎng)度為2，
A′B′中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，-2），顯然不滿足拋物線方程，
∴點(diǎn)P不在此拋物線上

（4）解：存在
過(guò)點(diǎn)O，作OM∥AB交拋物線于點(diǎn)M
易求出直線OM的解析式為：y=x
聯(lián)立拋物線解析式得：
解之得點(diǎn)M（-6，-6），
顯然，點(diǎn)M（-6，-6）關(guān)于對(duì)稱軸x=-2的對(duì)稱點(diǎn)M′（2，-6）也滿足要求，
故滿足條件的點(diǎn)M共有兩個(gè)，坐標(biāo)分別為（-6，-6）和（2，-6）
∴s_ABOM=S_△ABO+s_△AOM=×4×2+×4×6=16．

分析：（1）將A（-4，0）、B（-2，2）代入拋物線解析式y(tǒng)=ax²+bx，列方程組求a、b的值即可；
（2）根據(jù)所求拋物線解析式求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，判斷三角形的形狀；
（3）根據(jù)△OAB的形狀，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)角，畫(huà)出圖形，可求A′、B′的坐標(biāo)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求P的坐標(biāo)，代入拋物線解析式進(jìn)行判斷；
（4）存在．過(guò)點(diǎn)O，作OM∥AB交拋物線于點(diǎn)M，根據(jù)△OAB為等腰直角三角形，可求直線OM的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立，可求M點(diǎn)坐標(biāo)，同理，過(guò)點(diǎn)A，作AM′∥OB交拋物線于點(diǎn)M′，聯(lián)立方程組可求M′的坐標(biāo)，由圖形的特殊性可知，兩種情況下，梯形面積相等，根據(jù)梯形面積公式求解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)題意求拋物線解析式，根據(jù)解析式確定圖形的特殊性．