【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知點A(﹣1,0),點B(0,2),點C(3,0),直線a為過點D(0,﹣1)且平行于x軸的直線.
(1)直接寫出點B關于直線a對稱的點E的坐標;
(2)若P為直線a上一動點,請求出△PBA周長的最小值和此時P點坐標;
(3)若M為直線a上一動點,且SABC=SMAB , 請求出M點坐標.

【答案】
(1)(0,﹣4)
(2)解:∵B、E關于直線a對稱,

∴PB=PE,

∴△PBA周長=AB+BP+PA

=AB+PE+PA

∵兩點之間線段最段,

∴△PBA周長的最小值=AB+AE= ,

∴直線AE的解析式:y=﹣4x﹣4,

當y=﹣1時,x= ,

∴P點坐標( ,﹣1)


(3)解:設M(m,﹣1),

當M在第四象限,

∵SABC=SMAB,

∴點M在過C且平行于AB的直線上,

∵直線AB的解析式為:y=2x+2,

設直線CM的解析式為:y=2x+n,

∴0=2×3+n,

∴n=﹣6,

∴直線CM的解析式為:y=2x﹣6,

∴m=

∴M( ,﹣1),

當M在第三象限,

直線AB與直線a交于G(﹣ ,﹣1),

×(﹣ ﹣m)×(2+1)﹣ ×(﹣ ﹣m)×1= ×4×2,

∴m=﹣5.5,

∴M(﹣5.5,﹣1).


【解析】解:(1)∵B(0,2),D(0,﹣1), ∴BD=3,
∵直線a為過點D(0,﹣1)且平行于x軸的直線.
∴BD⊥直線a,
∴點B關于直線a對稱的點E的坐標(0,﹣4);
所以答案是:(0,﹣4);

【考點精析】利用軸對稱-最短路線問題對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知已知起點結(jié)點,求最短路徑;與確定起點相反,已知終點結(jié)點,求最短路徑;已知起點和終點,求兩結(jié)點之間的最短路徑;求圖中所有最短路徑.

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