Question

如圖，正三角形ABC的邊長是2，分別以點B，C為圓心，以r為半徑作兩條弧，設兩弧與邊BC圍成的陰影部分面積為S，當≤r＜2時，S的取值范圍是　　．

Answer 1

考點：

扇形面積的計算；等邊三角形的性質．

分析：

首先求出S關于r的函數(shù)表達式，分析其增減性；然后根據(jù)r的取值，求出S的最大值與最小值，從而得到S的取值范圍．

解答：

解：如右圖所示，過點D作DG⊥BC于點G，易知G為BC的中點，CG=1．

在Rt△CDG中，由勾股定理得：DG==．

設∠DCG=θ，則由題意可得：

S=2（S_扇形CDE﹣S_△CDG）=2（﹣×1×）=﹣，

∴S=﹣．

當r增大時，∠DCG=θ隨之增大，故S隨r的增大而增大．

當r=時，DG==1，∵CG=1，故θ=45°，

∴S=﹣=﹣1；

若r=2，則DG==，∵CG=1，故θ=60°，

∴S=﹣=﹣．

∴S的取值范圍是：﹣1≤S＜﹣．

故答案為：﹣1≤S＜﹣．

點評：

本題考查扇形面積的計算、等邊三角形的性質、勾股定理等重要知識點．解題關鍵是求出S的函數(shù)表達式，并分析其增減性．