Question

【題目】定理描述

（1）如圖1，用文字語(yǔ)言或符號(hào)語(yǔ)言敘述三角形中位線性質(zhì)定理的內(nèi)容．

．

證法回顧

證明三角形中位線性質(zhì)定理的方法很多，但多數(shù)都需要通過添加輔助線構(gòu)圖去完成．下列是其中一種證法的添加輔助線方法：

添加輔助線，如圖2，在△ABC中，過點(diǎn)C作CF∥AB，與DE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．

（2）上述證法中，證明三角形中位線定理中的DE∥BC的依據(jù)是（ ）

A．同位角相等，兩直線平行．

B．平行四邊形對(duì)邊平行．

C．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．

D．平行于同一條直線的兩條直線互相平行

拓展延伸

（3）利用證明三角形中位線定理獲得的經(jīng)驗(yàn)解決下面的問題：

如圖3，在△ABC中，∠B=45°，AB=10，BC=8，DE是△ABC的中位線，過點(diǎn)D、E作DF∥EG，分別交BC于F、G，過點(diǎn)A作MN∥BC，分別與FD、GE的延長(zhǎng)線交于M、N，則四邊形MFGN周長(zhǎng)的最小值是

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）B；（3）見解析.

【解析】

（1）分別運(yùn)用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言表述即可；

（2）作出圖形，然后寫出已知、求證，延長(zhǎng)DE到F，使DE=EF，利用“邊角邊”證明△ADE和△CEF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AD=CF，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠F=∠ADE，再求出BD=CF，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行判斷出AB∥CF，然后判斷出四邊形BCFD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得DF∥BC，DF=BC；

（3）先判斷出四邊形MFGN是平行四邊形，再判斷出MN=FG=DE=4，進(jìn)而判斷出MF⊥BC時(shí)，四邊形MFGN的周長(zhǎng)最小，最后構(gòu)造出直角三角形求出AH即可得出結(jié)論．

（1）文字語(yǔ)言：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半；

符號(hào)語(yǔ)言：∵DE是△ABC的中位線，∴DE＝BC， DE∥BC

（2）已知：△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，

求證：DE=BC，DE∥BC，

證明：如圖，延長(zhǎng)DE到F，使DE=EF，連接CF，

∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，

∴AE=CE，

在△ADE和△CEF中，

，

∴△ADE≌△CEF（SAS），

∴AD=CF，∠ADE=∠F，

∴AB∥CF，

∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

∴AD=BD，

∴BD=CF，

∴BD∥CF，

∴四邊形BCFD是平行四邊形，

∴DF∥BC，DF=BC，

∴DE∥BC且DE=BC．

故答案為：B．

（3）如圖，

∵MN∥BC，FM∥GN，

∴四邊形MFGN是平行四邊形，

∴MF=NG，MN=FG，

∵DE是△ABC的中位線，

∴DE=BC=4，DE∥BC，

∴MN=FG=BC=4，

∴四邊形MFGN周長(zhǎng)=2（MF+FG）=2MF+8，

∴MF⊥BC時(shí)，MF最短，

即：四邊形MFGN的周長(zhǎng)最小，

過點(diǎn)A作AH⊥BC于H，

∴FM=AH

在Rt△ABH中，∠B=45°，AB=10，

∴AH==5，

∴四邊形MFGN的周長(zhǎng)最小為2MF+8=10+8．

故答案為10+8．