Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，以AB上一點O為圓心，AD為弦作⊙O．
（1）求證：BC為⊙O的切線；
（2）若AC=6，tanB=

3

4

，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：

分析：（1）要證BC是⊙O的切線，只要連接OD，再證OD⊥BC即可；
（2）在Rt△ABC中，由“tanB=

3

4

，AC=6”求得BC=8，AB=10；然后在Rt△ODB中，利用∠B的正切值求得

OD

BD

；設(shè)OD=OA=3x，則BD=4x，OB=5x．列出關(guān)于x的方程，解方程即可．

解答：（1）證明：連接OD，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1=∠3．
∵OA=OD，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠3．
∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠ACB=90°．
∴OD⊥BC．
∴BC是⊙O切線；

（2）解：在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=

3

4

，AC=6，
∴BC=8，AB=10，
在Rt△ODB中，tanB=

OD

BD

，
設(shè)OD=OA=3x，則BD=4x，OB=5x，
∴AB=8x，
∴8x=10，
解得：x=

5

4

，
故半徑OA=

15

4

．

點評：本題考查了圓的切線性質(zhì)與判定以及解直角三角形的知識．運用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．