Question

（2012•太原二模）如圖，直線l₁：y=-x+6交x軸于點B，與直線l₂：y=

1

2

x交于點A，點E為線段OA的中點，長為2個單位的動線段CD（端點C從原點O開始）在線段OB上以每秒1個單位的速度向點B運動，當端點D到達點B時運動停止．設(shè)運動的時間為t秒（t≥0）．

（1）點D的坐標為

（2+t，0）

，點E的坐標為

（2，1）

；
（2）探究：當t為何值時△DEC為直角三角形；
（3）設(shè)點F為線段CD的中點，試探究是否存在t，使四邊形AECF的周長最��？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）用t表示出OC的長度，然后可得出點D的坐標，聯(lián)立兩直線解析式可得出點A的坐標，根據(jù)點E是OA的中點，可得出點E的坐標；
（2）分三種情況討論即可，①∠EDC=90°，②∠ECD=90°，③∠CED=90°，分別求出t的值．
（3）作CE關(guān)于x軸的對稱線段，CE'，將CE'向右平移至FE''，當FE''與AF共線時四邊形AECF的周長最小，確定AE''的直線解析式，將點F的坐標代入可求出t的值．

解答：解：（1）運動t秒后OC=t，則可得點D的坐標為（2+t，0），

y=-x+6 y= 1 2 x

，
解得：

x=4 y=2

，即點A的坐標為（4，2），
∵點E是OA的中點，
∴點E的坐標為（2，1）．

（2）①當∠EDC=90°時，此時點E坐標為：（2，1），點D坐標為（2，0），
則2+t=2，
解得：t=0；
②當∠ECD=90°時，此時點E坐標為：（2，1），點C坐標為（2，0），
則t=OC=2；
③當∠CED=90°時，過點E作EP⊥x軸于點P，

∵點E坐標為（2，1），
∴CP=2-t，PD=2+t-2=t，EP=1，
由CE²+ED²=CD²，可得（2-t）²+1²+t²+1²=2²，
解得：t=1，
綜上可得當t=0或t=1或t=2時，△DEC是直角三角形．

（3）如圖，作CE關(guān)于x軸的對稱線段，CE'，將CE'向右平移至FE''，當FE''與AF共線時四邊形AECF的周長最小，

∵C（t，0），CD=2，點F是CD的中點，
∴CF=1，點F（t+1，0），
設(shè)過A（4，2），E''（3，-1）兩點的直線表達式為y=kx+b，
則

4k+b=2 3k+b=-1

，
解得：

k=3 b=-10

，
則直線AE''的表達式為：y=3x-10，
當點F（t+1，0）在直線AE''上時，3（t+1）-10=0，
解得：t=

7

3

，
則存在t=

7

3

，使得四邊形AECF的周長最小．

點評：本題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及了動點問題、直角三角形及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及三點共線的知識，綜合性較強，解答第三問要注意兩點之間線段最短的運用，要求同學(xué)們能將所學(xué)的知識融會貫通．