Question

如圖，拋物線y=-x²+2x+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，它的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)N，過(guò)頂點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，連結(jié)BE交MN于點(diǎn)F，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（2）求△EMF與△BNF的面積之比．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),二次函數(shù)的性質(zhì),待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）直接將（-1，0）代入求出即可，再利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）利用EM∥BN，則△EMF∽△BNF，進(jìn)而求出△EMF與△BNE的面積之比．

解答：解：（1）由題意可得：-（-1）²+2×（-1）+c=0，
解得：c=3，
∴y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)M（1，4）；

（2）∵A（-1，0），拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
∴點(diǎn)B（3，0），
∴EM=1，BN=2，
∵EM∥BN，
∴△EMF∽△BNF，
∴

S△EMF

S△BNF

=（

EM

BN

）²=（

1

2

）²=

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)，得出△EMF∽△BNF是解題關(guān)鍵．