Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于點D
（1）把Rt△DBC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)45°，點C的對稱點為E，點B的對稱點為F，請畫出△EDF，連接AE，BE，并求∠AEB的度數(shù)．
（2）如圖2，把Rt△DBC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)α度（0＜α＜90°），點C的對稱點為E，點B的對稱點為F，連接CE，則線段AE，BE與CE之間有何確定的數(shù)量關(guān)系？寫出關(guān)系式并加以證明．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義畫圖，如圖1，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AD=BD=CD，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠DEA=∠DAE，∠DEB=∠DBE，然后利用三角形內(nèi)角和定理可計算出∠DEA+∠DEB=90°，即∠AEB的度數(shù)為90°；
（2）作CM⊥CE交AE于M，如圖2，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠CDE=α°，DE=DC=DA，利用互余得∠BDE=90-α，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠DEC=90°-

1

2

α，則根據(jù)三角形外角性質(zhì)可計算出∠DEA=

1

2

∠BDE=45°-

1

2

α，所以∠AEC=∠DEC-∠DEA=45°，由此可判斷△CEM為等腰直角三角形，得到CE=CM，EM=

2

EC，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義，把△CAM繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°可得到△CBE，則AM=BE，所以AE=AM+EM=BE+

2

CE．

解答：解：（1）如圖1，
∵∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB，
∴AD=BD=CD，
∴∠DEA=∠DAE，∠DEB=∠DBE，
∴∠DEA+∠DEB=

1

2

（∠DEA+∠DAE+∠DEB+∠DBE）=

1

2

×180°=90°，
即∠AEB的度數(shù)為90°；
（2）線段AE，BE與CE之間的數(shù)量關(guān)系為AE=BE+

2

CE．理由如下：
作CM⊥CE交AE于M，如圖2，
∵Rt△DBC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)α度（0＜α＜90°），點C的對稱點為E，點B的對稱點為F，
∴∠CDE=α°，DE=DC=DA，
∴∠BDE=90-α，∠DEC=

1

2

（180°-∠EDC）=90°-

1

2

α，
而∠BDE=∠DEA+∠DAE，
∴∠DEA=

1

2

∠BDE=45°-

1

2

α
∴∠AEC=∠DEC-∠DEA=90°-

1

2

α-（45°-

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2

α）=45°，
∵CM⊥EC，
∴∠ECM=90°，
∴△CEM為等腰直角三角形，
∴CE=CM，EM=

2

EC，
∵∠ACB=∠MCE=90°，CA=CB，CM=CE，
∴△CAM繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°可得到△CBE，
∴AM=BE，
∴AE=AM+EM=BE+

2

CE．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．