Question

【問題情境】如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的一點(diǎn)，E是CD邊的中點(diǎn)，AE平分∠DAM．

【探究展示】

（1）證明：AM=AD+MC；

（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．

【拓展延伸】

（3）若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2，探究展示（1）、（2）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)分別作出判斷，不需要證明．

Answer 1

（1）證明見解析；

成立；證明見解析；

（3）①結(jié)論AM=AD+MC仍然成立．

②結(jié)論AM=DE+BM不成立．

【解析】

試題解析：（1）延長AE、BC交于點(diǎn)N，如圖1（1），

∴△ADE≌△NCE（AAS）．

∴AD=NC．

∴MA=MN=NC+MC=AD+MC．

（2）AM=DE+BM成立．

過點(diǎn)A作AF⊥AE，交CB的延長線于點(diǎn)F，如圖1（2）所示．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AB=AD，AB∥DC．

∴AM=FM．

∴AM=FB+BM=DE+BM．

（3）①結(jié)論AM=AD+MC仍然成立．

延長AE、BC交于點(diǎn)P，如圖2（1），

②結(jié)論AM=DE+BM不成立．

假設(shè)AM=DE+BM成立．

過點(diǎn)A作AQ⊥AE，交CB的延長線于點(diǎn)Q，如圖2（2）所示．

∵∠QAB=∠EAD=∠EAM，

∴∠AED=∠BAE=∠BAM+∠EAM

=∠BAM+∠QAB

=∠QAM．

∴∠Q=∠QAM．

∴AM=QM．

∴AM=QB+BM．

∵AM=DE+BM，

∴QB=DE．

在△ABQ和△ADE中，

，

∴△ABQ≌△ADE（AAS）．

∴AB=AD．

與條件“AB≠AD“矛盾，故假設(shè)不成立．

∴AM=DE+BM不成立．                            

考點(diǎn)：1、角平分線的定義；2、平行線的性質(zhì)；3、全等三角形的判定與性質(zhì)；4、矩形及正方形的性質(zhì)．