Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)C（0，4），矩形OABC的對(duì)角線的交點(diǎn)為M，點(diǎn)P（2，3）．
（1）直線OB的解析式為y=2x；
（2）過(guò)點(diǎn)P且與直線OB平行的直線的解析式為y=2x-1；
（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2）；
（4）點(diǎn)Q在直線AC上，△QMB的面積與△PMB的面積相等，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出B（2，4），再設(shè)直線OB的解析式為為y=kx，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P且與直線OB平行的直線的解析式為y=2x+b，將P（2，3）代入，利用待定系數(shù)法即可求解；
（3）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出M是線段AC的中點(diǎn)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解；
（4）由△QMB的面積與△PMB的面積相等，根據(jù)三角形的面積公式可知Q到BM的距離等于P到BM的距離．再分①Q(mào)在BM的下方；②Q在BM的上方兩種情況進(jìn)行討論．

解答 解：（1）∵四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)C（0，4），
∴B（2，4）．
設(shè)直線OB的解析式為為y=kx，
則2k=4，解得k=2，
∴直線OB的解析式為為y=2x．
故答案為y=2x；

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P且與直線OB平行的直線的解析式為y=2x+b，
將P（2，3）代入，
得4+b=3，解得b=-1，
所以過(guò)點(diǎn)P且與直線OB平行的直線的解析式為y=2x-1．
故答案為y=2x-1；

（3）∵矩形OABC的對(duì)角線的交點(diǎn)為M，
∴M是線段AC的中點(diǎn)，
∵點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)C（0，4），
∴M（1，2）．
故答案為（1，2）；

（4）∵點(diǎn)Q在直線AC上，△QMB的面積與△PMB的面積相等，
∴Q到BM的距離等于P到BM的距離．
①如果Q在BM的下方，那么PQ∥BM，Q為直線AC與直線y=2x-1的交點(diǎn)．
∵點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)C（0，4），
∴直線AC的解析式為y=-2x+4．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-1}\\{y=-2x+4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{4}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)Q₁的坐標(biāo)為（$\frac{5}{4}$，$\frac{3}{2}$）；
②如果Q在BM的上方，那么Q與（$\frac{5}{4}$，$\frac{3}{2}$）關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，
∵M(jìn)（1，2），
∴點(diǎn)Q₂的坐標(biāo)為（1×2-$\frac{5}{4}$，2×2-$\frac{3}{2}$），即（$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{2}$）；
故所求點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\frac{5}{4}$，$\frac{3}{2}$）或（$\frac{3}{4}$，$\frac{5}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)的解析式的求法，矩形的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)圖象與幾何變換，線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，三角形的面積，掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．